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《平面与平面垂直的性质课件（人教A版必修二）.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.4平面与平面垂直的性质自学导引1.掌握两个平面垂直的性质定理,并会将面面垂直转化为线面垂直来处理.2.掌握二面角的平面角的作法,会进行简单二面角的计算.3.结合水坝､人造地球卫星运行轨道等具体实例再一次体会数学在日常生活中的广泛应用.课前热身1.两个平面垂直,则一个平面内__________的直线与另一个平面垂直.2.三个两两垂直的平面的交线__________.垂直于交线两两垂直1.两个平面垂直的性质定理性质定理:若两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.符号
2、表示:图形表示:名师讲解应用两个平面垂直的性质定理时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在一个平面内;(3)直线必须垂直它们的交线.2.垂直问题相互转化示意图题型一面面垂直性质的应用例1:如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.典例剖析分析:解答本题可先由面面垂直得线面垂直,再进一步得出线线垂直.证明:(1
3、)连接PG,由题知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°.∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.又AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG,所以AD⊥PB.规律技巧:应用线面关系的性质定理或判定定理时,都要把条件写清楚､凑齐,才能确保证明准确无误.变式训练1:如右图,在△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,AF⊥P
4、C于F,AE⊥PB于E,求证:EF⊥PC.证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,∴BC⊥平面PAB,∵AE平面PAB,∴AE⊥BC,又AE⊥PB,且PB∩BC=B,∴AE⊥平面PBC,∵PC面PBC,∴AE⊥PC,又PC⊥AF,AE∩AF=A,∴PC⊥平面AEF,∴PC⊥EF.题型二线面关系定理的综合应用例2:已知:如下图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三
5、角形.分析:已知条件“平面PAB⊥平面ABC,…”,使我们想到面面垂直的性质定理,便有如下证法.证明:(1)在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平面PAC.PA平面PAC.∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG､DF都在平面ABC内,∴PA⊥平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂线,∴PC⊥AE.∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC.∴PA⊥
6、AB.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形.规律技巧:(1)已知两个平面垂直时,过其中一个平面内的一点作交线的垂线,则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面,于是面面垂直转化为线面垂直,由此得到结论:两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.(2)的关键是要灵活利用(1)题的结论.变式训练2:如图,α⊥β,α∩β=AB,CDβ,CD⊥AB,CE,EFα,∠FEC=90°,求证:平面EFD⊥平面DCE.证明:∵α⊥β,α∩β=AB,CDβ,CD⊥
7、AB,∴CD⊥α,EFα,∴CD⊥EF.又∠FEC=90°,∴CE⊥EF.又CD∩CE=C,∴EF⊥平面DCE,又EF平面EFD,∴平面EFD⊥平面DCE.题型三折叠问题例3:如下图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起,(1)如果二面角A—DE—C是直二面角,求证:AB=AC;(2)如果AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.分析:(1)已知平面ADE⊥平面BCDE,过A作AM⊥DE于M,则AM⊥平面BCDE.(2)已知AB=AC,取BC中点N,连结AN,则
8、AN⊥BC.证明:(1)过A作AM⊥DE于M,则AM⊥平面BCDE.又AD=AE,∴M是DE中点,取BC中点N,连结MN,则MN⊥BC,∴BC⊥平面AMN,∴AN⊥BC.又N是BC中点,∴△ABC为等腰三角形,∴AB=AC.(2)取BC中点N,连结AN.∵AB=AC,∴AN⊥BC.取DE中点M,连结MN､AM,∴MN⊥BC.∴BC⊥平面AMN,∴AM⊥BC.又M是DE中点,AD=AE,∴AM⊥DE.又∵DE与BC是相交直线,∴AM⊥平面BCDE.又AM平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCDE.变式
