专题复习中考数学归纳与猜想.doc

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1、专题复习归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。一、知识网络图猜想性问题猜想规律型猜想结论型猜想数式规律猜想图形规律猜想数值结果猜想数量关系猜想变化情况二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在

2、于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。★范例精讲【归纳与猜想】例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，

3、探究其中的规律：①1×＝1－②2×＝2－③3×＝3－④4×＝4－……⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n个图形相对应的等式。解：⑴5×＝5－⑵。例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：所剪次数12345…正方形个数47101316…⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？⑵如果剪n次共有An个正

4、方形，试用含n、An的等式表示这个规律；⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示an；⑹试猜想a1＋a2＋a3＋…＋an与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；1a1a2a3⑵An＝3n＋1；⑶若An＝22，则3n＋1＝22，∴n＝7，故需剪7次；⑷若An＝2004，则3n＋1＝2

5、004，此方程无自然数解，∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸an＝；⑹a1＝＜1，a1＋a2＝＋＝＜1，a1＋a2＋a3＝＋＋＝＜1，……从而猜想到：a1＋a2＋a3＋…＋an＜1.直观的几何意义如图所示。例3下图中，图⑴是一个扇形AOB，将其作如下划分：第一次划分：如图⑵所示，以OA的一半OA1为半径画弧，再作∠AOB的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1；第二次划分：如图⑶所示，在扇形C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到

6、扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.图⑷第三次划分图⑴ABO图⑵第一次划分ABOA1CB1C1图⑶第二次划分ABOA1CB1C1⑴根据题意，完成下表：划分次数扇形总个数16211316421……n5n＋1⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？解：由5n＋1＝2005，得n＝，∵n不是整数，∴不可能。优化训练1．如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：A6…A511A41A3A21A11OS1S2S3S4S5（）2＋1＝2S1＝（）2＋1＝3S2＝（）2＋

7、1＝4S3＝⑴请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；⑵推算出OA10的长；⑶求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值．解：⑴（）2＋1＝n＋1，Sn＝；⑵∵OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，∴OA10＝；⑶S12＋S22＋S32＋…＋S102＝（1＋2＋3＋…＋10）＝．1．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中的小黑点的个数为y.图1图2图3图4图5解答下列问题：⑴填表：n12345…y1371321…⑵当n＝8时，y＝57；⑶你能猜想y与n之间的关系式吗？你是怎么得到的，请

8、与同伴交流；⑷下边给出一种研究方法。请你根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y）.猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上？如果在某一函数的图象上，请你求出该函数的关系式。解：⑴观察y这一行，后面的数比前一个数依次增大2，4，6，…，2（n－