资源描述：
《高等数学第四讲(4学分)ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章1、和差积商的极限等于极限的和差积商第三讲主要内容回顾：2、复合函数极限的运算法则3、分式函数的极限：1x趋于无穷大时，分式函数的极限：为非负常数)24、两个重要的极限5、无穷小量的阶：重点掌握等价无穷小6、求极限时的等价无穷小因式代替规则:3第四节函数的连续性第一章4函数在点4.1、连续函数的概念定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;1、函数在点x0处连续的概念5若x0不是函数的连续点，则称x0是函数的间断点，函数在此点是间断的。6考察函数讨论处的连续性.解:因为不存在.所以上述函数在0处不连续。7自
2、变量在x0的增量函数在点x0的增量：函数在点连续有下列等价命题:函数在x0处连续的增量定义8结论：函数在x0处连续的充要条件是函数在此点处的增量是无穷小。9函数在点x0处单侧连续左连续：右连续：函数在点x0处连续的充要条件是函数在此点既左连续又右连续。10例：设函数问：当a取何值时，函数在1处连续？解：11函数在区间连续的概念若在某开区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.12证明：在上连续.证明：有理分式函数在其定义域内连续.13函数在闭区间上连续函数在[a,b]连续指：函数在右端点处左连续，而在左端点处右连续及相应的开区间连续。14在在函数的间断点
3、（不连续点）：(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但设在点的某去心邻域内有定义,符合上述情形之一的点虽有定义,但虽有定义,且称为函数的间断点.在无定义;15例：x=1/2是函数的间断点例：考察x=0是不是符号函数的间断点。16间断点分类:第一类间断点:左右极限都存在的间断点。若称第二类间断点:左右极限至少有一个不存在的间断点。为可去间断点.无穷间断点:属于第二类间断点。或若称为跳跃间断点.17显然为其可去间断点.考察y=tanx的间断点184.2连续函数的运算与初等函数的连续性第一章19定理2.连续单调递增(递减)函数的反函数也连续单调递增(递减).一、连续函数的运算法则定
4、理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.(证明略)20在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.因为在其定义域内连续因为因为在上连续单调递增，其反函数在[－1,1]上也连续单调递增.结论：基本初等函数在其定义域内连续21函数f(u)在u0连续，则若函数g(x)在x0连续，连续函数的复合运算法则22例如,是由连续函数因此在上连续.复合而成,23二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点处单
5、侧连续)的连续区间为求初等函数的连续区间只要求定义域即可。24利用连续性求极限例：求254.3闭区间上连续函数的性质第一章26注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断点在该区间上一定有最大(证明略)27例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,28推论.二、介值定理定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.29中间值定理设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值
6、之间的任何值.30例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有311、求下列数列的极限习题选讲322、求下列函数的极限习题选讲333、求函数的连续区间，若有间断点，判断间断点的类型。344、利用函数的连续性，求下列极限35课后作业P57-58：19（奇数题）、20（1、3、5）36
