高等数学@12.3幂级数ppt课件.ppt

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1、第三节幂级数知识回顾：当

2、q

3、<1时，收敛;当

4、q

5、≥1时，发散.(1)若收敛,则(2)等比级数(3)比值法：为正项级数,①若，则级数收敛。②若，则,从而级数发散。当

6、x

7、≥1时，该级数发散。如当时，该级数为：当时，该级数为：收敛，称为级数的收敛点，发散，称为级数的发散点。一、函数项级数的一般概念1.定义:为定义在区间I上的(函数项)无穷级数设是定义在I上的函数,则称2.收敛点与收敛域:数项级数收敛,若在x0点，则称为级数的收敛点,否则称为发散点.收敛点的全体称为收敛域。3.和函数:的函数S(x),称S(x)为函数项级数的和

8、函数.在收敛域上,函数项级数的和是x二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:的级数称为幂级数.形如当x0=0时，幂级数化为当

9、x

10、<1时收敛，当

11、x

12、≥1时发散，收敛域：(－1,1)收敛域?是否有类似的情况？收敛域?若该级数有一个收敛点x0,x0x当

13、x

14、<

15、x0

16、时，收敛收敛收敛-x0绝对收敛☆结论：（1）若在处收敛,则当时，绝对收敛；x1在处发散,（2）若级数则当时，x发散.-x1定理1(Abel定理)（1）若幂级数在x=–3处发散，则此级数在x=4处（）A.发散;B.条件收敛;C.绝对收敛;D.收敛性不能确定；A（2

17、）若幂级数在x=–2处收敛，则此级数在x=5处（）CA.发散;B.条件收敛;C.绝对收敛;D.收敛性不能确定；(3).级数的收敛域是____.DAbel定理的几何说明：收敛区域发散区域发散区域定义:若存在常数R>0,当

18、x

19、

20、x

21、>R时,发散则正数R称为的收敛半径，(-R,R)称为收敛区间。规定(1)幂级数只在x=0处收敛,收敛域{x

22、x=0}(2)幂级数对一切x都收敛,收敛区间若存在常数R>0,使幂级数当

23、x

24、

25、x

26、>R时发散,称R为的收敛半径.定理2若且系数当时,则其收敛半径R为：当时,当时

27、,若存在常数R>0,使幂级数当

28、x

29、

30、x

31、>R时发散,称R为的收敛半径.证（1）当时,当时,收敛，绝对收敛，当时,发散，故收敛半径若存在常数R>0,使幂级数当

32、x

33、

34、x

35、>R时发散,称R为的收敛半径.（2）当时,收敛，绝对收敛，（3）当时,故收敛半径发散，故收敛半径则幂级数若收敛半径R：例1求幂级数的收敛域:解（1）收敛区间(－1,1)当x=1时,级数为收敛，当x=－1时,级数为发散，故收敛域是(-1,1]则幂级数若收敛半径R：收敛域(-∞,+∞)例2求收敛域:解：设幂级数化为：则幂级数若收敛半径

36、R：收敛区间为即0

37、x

38、<2时绝对收敛；B.当时发散；C.当

39、x

40、<4时绝对收敛；D.当时发散；A小结：1.阿贝尔定理：2.收敛半径：若存在常数R>0,当

41、x

42、

43、

44、x

45、>R时,发散则R称为的收敛半径.3.收敛半径的求法：（1）若an≠0,则x0-x0（2）若幂级数缺少偶（或奇）数次方项，直接利用比（或根）值法判断收敛半径。（3）对幂级数作代换t=x-x04.收敛域的求法：先求收敛半径，得到收敛区间，再判断收敛区间端点出幂级数的收敛性。三、幂级数的运算1.加减法收敛半径为:R=min{R1,R2}设幂级数和的收敛半径分别为R1和R22.和函数的分析运算性质:若幂级数的收敛半径为R，和函数为S(x)，则（1）S(x)在收敛区间上连续.（2）S(x)在收敛区间可积，且可逐项积分，并可逐项求导

46、任意次，（3）S(x)在(－R,R)内可导,(收敛半径不变)幂级数：解例3求级数的和函数收敛半径：R=1收敛域(-1,1]例4求级数的和函数解收敛半径：R=1收敛域(-1,1)(-1