高等数学(高教版)第二章行列式第四节ppt课件.ppt

《高等数学(高教版)第二章行列式第四节ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、主要内容性质1第四节n级行列式的性质性质2性质3性质4性质5性质6性质7行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题，n级行列式共有n!项，计算它就需做n!(n-1)个乘法.当n较大时，n!是一个相当大的数字.直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事因此我们有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算.性质1行列互换，行列式不变，即=把行列式D的行列互换所得新行列式叫做D的转置行列式，记作DT.性质1即为D=DT.证记D=det(aij)的转置行列式为即bij=aji(i,j=1,2,…,n),由定义4，有故DT=D.证毕按定义由此

2、性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位,对于行成立的性质对于列也同样成立,所以下面只讨论有关行列式行的性质．在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中的n个元素(譬如ai1,ai2,…,ain)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.所以，n级行列式的n!项可以分成n组，第一组的项都含有ai1，第二组的项都含有ai2等等.再分别把i行的元素提出来，就有其中Aij代表那些含有aij的项在提出公因子aij之后的代数和.至于Aij究竟是哪些项的和我们到第六节再来讨论.从以上讨论可以知道

3、，Aij中不再含有第i行的元素，也就是Ai1，Ai2，…，Ain全与行列式中第i行的元素无关.由此即得性质2.性质2这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以行列式.证明证毕第i行(或列)乘以k,记作kri(或kci)推论如果行列式中某一行的元素全为零，那么行列式为零.在本教案的演算系统中，作如下规定性质3这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样.证明设这一行是第i行，于是证毕性质3可以推广到某一行为多组数的和的情形，这里略.性质4

4、如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.证明设行列式中第i和与第k行相同，即为了证明该性质，只须证明上述展开式中所有n!项全部能两两相互抵消即可.事实上，与项同时出现的还有比较这两项，由已知有也就是说，这两项有相同的数值.但是排列与相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反.易知，全部n级排列可以按上述形式两两配对.因而，上述展开式中的每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现，从而行列式为零.证毕性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零.证明=0,这里第一步是根据性质2，第二步是根据性质4.证毕性质6证明把一行的倍数加到另一行，行列式

5、不变.把行列式D=det(aij)的第j行的k倍加到第i行(记为ri+krj)，得根据根据证毕性质7证明对换行列式中两行位置，行列式反号.ri+rj交换i,j两行记为rirjrj-riri+rj根据证毕例1计算n级行列式解r1+r2+…+rnDn=[x+(n-1)a]ri-a×r1i=2,3,…,n=========[x+(n-1)a]=[x+(n-1)a](x-a)n-1.在本例中,当x=3,a=2,n=6时,有下面验算此结论,单击此处开始D6=13.例2设n级行列式D=det(aij)的元素满足aij=-aji,i,j=1,2,…,n,证明当n为奇

6、数时，D=0.证明由已知可得aii=-aii,即aii=0,i=1,2,…,n,因此，行列式D为则D的转置行列式为每行提出-1=(-1)nD.由性质1:D=DT有D=DT=(-1)nD,于是，当n为奇数时，得D＝-D,故D＝0.证毕性质2、6、7介绍了行列式关于行和列的三交换运算：行交换列交换线性运算：行运算列运算数乘运算：行运算列运算运算、交换运算，它们分别记为种运算，在本教案中分别称为数乘运算、线性本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结

7、束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮

8、.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!