高等数学(下)总复习PPT(同济六版)ppt课件.ppt

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1、总复习(一）2021/9/71一、求极限1、极限的定义：单侧极限2、无穷小与无穷大无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质极限存在的条件3、极限的性质四则运算、复合函数的极限2021/9/724、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理2021/9/736、两个重要极限7、无穷小的比较8、等价无穷小的替换性质9、极限的唯一

2、性、局部有界性、保号性2021/9/741、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理2021/9/75例1解：原式2021/9/76例2解：（有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）2021/9/77解例32021/9/78解例42021/9/79例5解2021/9/710例6解2021/9/711解：例72021/9/712解：例8

3、2021/9/713例9求函数的间断点，并指出间断点的类型。解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为所以为间断点。所以为第二类无穷间断点。所以为第一类可去间断点。2021/9/714例10求函数的间断点，并指出间断点的类型。解：的间断点为所以x＝0是可去间断点。令x=0,f(x)=1则函数在该点连续2021/9/7152021/9/716例11证明讨论:由零点定理知,2021/9/717所以,2021/9/718二、导数1、导数的定义单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件2、基本导数公式（

4、常数和基本初等函数的导数公式）常、反、对、幂、指、三、双曲——18个公式3、求导法则2021/9/719(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则——注意不要漏层(4)对数求导法——注意适用范围(5)隐函数求导法则——注意y的函数的求导(6)参变量函数的求导法则——注意不要漏乘4、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)方法：逐阶求导2021/9/7205、微分的定义微分的实质6、导数与微分的关系7、微分的求法基本初等函数的微分公式8、微分的基本法则函数

5、和、差、积、商的微分法则微分形式的不变性——复合函数的微分法则2021/9/721例12解原式=2021/9/722例13解2021/9/723例14解2021/9/724例15证明2021/9/7252021/9/726例16求下列函数的导数①②2021/9/727③④2021/9/728⑤⑥2021/9/729⑦2021/9/730解⑧第二个方程两边对t求导得2021/9/731例17设曲线方程求此曲线上纵坐标处的切线方程.所以切点坐标为则所求切线方程为解：先求切点坐标.将代入曲线方程得将代入上

6、式,得再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对求导，得2021/9/732例18解两边对x求导得设确定了求2021/9/733分析因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。解：应用对数求导法。函数两边取对数得所以方程两边对求导得例192021/9/734三、导数的应用1．罗尔定理2．拉格朗日中值定理3．柯西中值定理在上连续,在内可导,且,在上连续,在内可导,则至少存在一使在上连续,在内可导,，则至少存在一使则至少存在一使2021/9/735一、函数的极值与单调性1．函数极值的定义2．函数的驻点3．函数

7、的单调区间的判别则为的驻点。在上，若，则单调增加；若，则单调减少；为极大值.)(),()(),,(000。xfxfxfxUx£Îd2021/9/7361．函数凹凸性定义2．函数的拐点称曲线为凹的；称曲线为凸的。3．函数凹凸性的判别二、函数的凹凸性及拐点凹弧与凸弧的分界点。凹；凸。2021/9/7371．第一充分条件三、函数极值的充分条件则在处取得极大值；则在处取得极小值；（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值；（1）若时，而时，（2）若时，而时，2021/9/738例20证Lagrange定理2

8、021/9/739例21证令2021/9/740例22解列表讨论极大值极小值2021/9/741例23解列表讨论2021/9/742极大值极小值极小值2021/9/743