概率论与数理统计第四章习题解.docx

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1、第四章.随机变量的数字特征习题解（习题四）1.一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06，0.04，若其产值分别为6元、5.4元、5元、4元及0元，求产品的平均产值.解：设ξ表示产品的产值,则平均产值为：E(ξ)=6×0.7+5.4×0.1+5×0.1+4×0.06+0×0.04=5.48(元).2.测量一圆形物体的半径R,其分布列为：R10111213p0.10.40.30.2(1).计算E(R)；(2).E(2πR)是否等于2πE(R).解

2、：(1).由数学期望的定义及R的分布列：E(R)＝10×0.1＋11×0.4＋12×0.3＋13×0.2＝11.6(2).由数学期望的性质(2),显然有：E(2πR)＝2πE(R)=23.2π.验证：由函数数学期望的定义：E(2πR)=2π⋅10×0.1+2π⋅11×0.4+2π⋅12×0.3+2π⋅13×0.2＝2π(10×0.1+11×0.4+12×0.3+13×0.2)＝2πE(R)=2π×11.6=23.2π，即E(2πR)＝2πE(R)成立.kxα,(0

3、变量ξ的分布密度为：f(x)=0,(x≤0,x≥1)E(ξ)＝0.75，求k和α，(k,α>0).-1-解：由密度函数的性质及已知密度函数有：1k1kαα+1∫kxdx=x==1，得：k−α=1--------------①，0α+10α+1又由连续随机变量数学期望定义及已知数学期望有：1k1kα+1α+2∫kxdx=x0==0.75，得：k−0.75α=1.5----②,α+20α+2联解方程①②得：α=2，k=3.4.设在某一规定时间间隔里，电器设备用于最大负荷的时间ξ(以分计)，是一连续型

4、随机变量，其概率密度为：x/15002,(0≤x≤1500)f(x)=−(x−3000)/15002,(15003000)解：由连续型随机变量数学期望的定义式：+1500123000x(x−3000)E(ξ)=∫xf(x)dx=∫xdx−∫dx1500215002−∞01500x3150011323000＝0−(x−1500x)1500＝1500.3×15002150023x

5、<1)21/(π1−x),(

6、,E(ξ),D(ξ).5.设随机变量ξ的分

7、布密度为:f(x)=,(

8、x

9、≥1)0+1−εx解：E(ξ)=∫xf(x)dx=∫dx=0；2−∞−1+επ1−x(注：①.-1,1是被积函数的奇点，因此要用广义积分法求积分；②.在[-1+ε,1-ε](ε>0)上应用奇函数的积分性质：奇函数在对称区间上的积分为零).又：+E(ξ2)=∫x2f(x)dx(应用偶函数积分性质)−∞-2-1−ε21−ε＝2∫xdx＝2∫(1−1−x2)dxππ2201−x01−x11−ε12＝(arcsinx−x1−x)0=；π2（其中：积分式中第一项的原函数为ar

10、csinx，第二项用积分公式或变量代换x=sint，可求得原函数为1(arcsinx+x1−x2)；原函数代上限1−ε，再求ε→0+2时的极限）.∴D(ξ)=E(ξ2)−E2(ξ)=1.2既题解为：E(ξ)＝0，D(ξ)＝1/2.16.(拉普拉斯)随机变量ξ的分布密度为:f(x)=e−

11、x

12、，(x∈R),求E(ξ),D(ξ).++解:E(ξ)=∫xf(x)dx=∫xe−

13、x

14、dx=0（奇函数在对称区间上的积分为零）；又：−∞−∞++E(ξ2)=∫x2f(x)dx=∫x2e−

15、x

16、dx(应用偶函数

17、积分性质)−∞−∞++∞=2；＝2∫x2e−xdx＝−(x2+2x+2)e−x00∴D(ξ)=E(ξ2)−E2(ξ)=2.即题解为E(ξ)＝0，D(ξ)＝2.7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：ax2+bx+c,(0

18、---①应用数学期望定义式及已知值有：1a4b3c21abc12∫x(ax+bx+c)dx=(x+x+x)=++=，得：3243040223a+4b+6c=6------------------------②应用方差定义式及已知值有：1∫(x−1/2)2(ax2+bx+c)dx0＝(ax5+b−ax4+a/4−b+cx3+b/4−cx2+cx)1054324＝a+b−a+a−4b+4c+b−4c+c=3，得：541284204a+5b+10c=18-----------------------③