专题5圆锥曲线与函数,导数的综合.doc

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1、专题5．圆锥曲线与函数，导数的综合切线是曲线的一个重要的几何性质，导数的介入使求切线方程成为可能，从而丰富了解析几何的研究内容，而研究圆锥曲线有关参数的范围，有关几何元素的最值则离不开函数和导数等工具，即用导数求切线的斜率，用函数或导数求最值或参数范围等，因此在考查圆锥曲线的试题中，经常出现圆锥曲线与函数和导数的综合题。在2004年的试卷中,函数,导数与解析几何综合的解答题出现的,有全国卷Ⅰ（理）（函数值域），全国卷Ⅱ（理）（函数值域），福建卷（文，理）（切线），湖南卷（理）（切线）辽宁卷（最值）。在2005年的试卷中,函数,导数与解析几何综合的解答题出现的,有全国卷Ⅱ（文，理）(增减

2、性,最值)，广东卷（最值），天津卷（最值），江西卷（切线）浙江卷（最值）等【例1】(2005年，全国卷II，理21文22)P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【分析及解】如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为。又PQ过点F（0,1），故PQ方程为，将此式代入椭圆方程得设P、Q两点的坐标分别为、，则，从而，（1）当时，MN的斜率为－，同上可推得故四边形的面积令，得因为，当时，，且S是以为自变量的增函数，所以（2）当时，MN为椭圆长

3、轴，，综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为【例2】(2005年，江西卷，理22)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（Ⅰ）求△APB的重心G的轨迹方程.（Ⅱ）证明∠PFA=∠PFB.【分析及解】（Ⅰ　）设切点A、B坐标分别为，由的导数为,∴切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（Ⅱ）方法1：,由于P点在抛物线外，则同理有∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线

4、AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.【例3】(2004年，湖南卷，理21)如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为，证明:；(Ⅱ)设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.【分析及解】（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为代入抛物线

5、方程得①设A、B两点的坐标分别是、、x2是方程①的两根.所以由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而.所以（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.由得所以抛物线在点A处切线的斜率为设圆C的方程是则解之得所以圆C的方程是即