线性代数 矩阵 行列式ppt课件.ppt

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1、§2.3逆矩阵上页下页返回首页结束铃引例从X(x1x2xn)T到Y(y1y2yn)T的线性变换可以记作YAX其中A是n阶矩阵如果线性变换YAX存在逆变换XBY则有恒等变换XBYBAX和YAXABY因此应有ABBAE补充例题逆矩阵的定义对于n阶矩阵A如果存在n阶矩阵B使得ABBAE则称矩阵A是可逆的并称B为A的逆矩阵简称逆阵逆阵的唯一性如果矩阵A是可逆的那么A的逆阵是唯一的A的逆阵记为A1即若ABBAE则BA1所以逆阵是唯一的即BB1EB1B1(AB)B1B(AB1)于是AB1B1AE

2、ABBAEBBE这是因为如果B和B1都是A的逆矩阵则有下页定理1若矩阵A可逆则

3、A

4、0对于n阶矩阵A当

5、A

6、0时称A是奇异矩阵否则称A为非奇异矩阵这是因为如果A可逆则AA1E所以

7、A

8、0故

9、A

10、

11、A1

12、

13、E

14、1逆矩阵的定义对于n阶矩阵A如果存在n阶矩阵B使得ABBAE则称矩阵A是可逆的并称B为A的逆矩阵简称逆阵逆阵的唯一性如果矩阵A是可逆的那么A的逆阵是唯一的下页定理2若

15、A

16、0则矩阵A可逆且其中A*为矩阵A的伴随矩阵定理1若矩阵A可逆则

17、A

18、0逆矩阵的定义对于n阶矩阵A如果存在n阶矩阵B使得ABBA

19、E则称矩阵A是可逆的并称B为A的逆矩阵简称逆阵逆阵的唯一性如果矩阵A是可逆的那么A的逆阵是唯一的>>>(若矩阵A可逆则A是奇异矩阵)下页返回定理2若

20、A

21、0则矩阵A可逆且其中A*为矩阵A的伴随矩阵因为AA*A*A

22、A

23、E又

24、A

25、0故有所以按逆阵的定义即知A可逆且有证明推论若ABE(BAE)则BA1(3)若A、B为同型可逆矩阵则AB可逆且(AB)1B1A1(2)若A可逆数0则A可逆且(A)11A1(1)若A可逆则A1也可逆且(A1)1A逆矩阵的性质这是因为AA1EAEA1A(B

26、B1)A1(AB)(B1A1)下页这是因为ETE(A1A)T推论若ABE(BAE)则BA1(4)若A可逆则AT也可逆且(AT)1(A1)T(3)若A、B为同型可逆矩阵则AB可逆且(AB)1B1A1(2)若A可逆数0则A可逆且(A)11A1(1)若A可逆则A1也可逆且(A1)1A逆矩阵的性质AT(A1)T下页因为

27、A

28、adbc解cdab所以当

29、A

30、0时有提示A12cA11dA22aA21b下页由

31、A

32、20得知A1存在解因为所以232662452下

33、页例3设求矩阵X使其满足AXBC解提示下页解APP1AnPnP1P2P1A2PP1PP1而下页这是因为如果APP1则AkPkP1从而(A)a0Ea1AamAmPa0EP1Pa1P1PammP1P()P1设(x)a0a1xamxm为x的m次多项式A为n阶矩阵记(A)a0Ea1AamAm(A)称为矩阵A的m次多项式矩阵的多项式的计算(1)如果APP1则(A)P()P1下页设(x)a0a1xamxm为x的m次多

34、项式A为n阶矩阵记(A)a0Ea1AamAm(A)称为矩阵A的m次多项式(1)如果APP1则(A)P()P1矩阵的多项式的计算(2)如果diag(12n)为对角阵则()diag((1)(2)(n))这是因为()a0Ea1amma0diag(111)a1diag(12n)amdiag(1m2mnm)diag((1)(2)(n))结束例1设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O证明A为可

35、逆矩阵并求A-1(abc为常数且c0)又因c0故有aA2+bA=-cE解由aA2+bA+cE=O有-c-1aA2-c-1bA=E即(-c-1aA-c-1bE)A=E因此A可逆且A-1=-c-1aA-c-1bE返回例2已知diag(12n)其中i0(i12n)验证1diag(1121n1)证明因为