线性代数 矩阵 第2节 行列式.ppt

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1、第二章矩阵与行列式§2.2行列式1阶方阵A=[a11]的行列式

2、A

3、定义为a11.a11a12a21a222阶方阵A=的行列式

4、A

5、定义为a11a12a21a22

6、A

7、==a11a22a12a21.a11a12a21a22a11(1)1+1a22+a12(1)1+2a21a11a12a21a22一.行列式(determinant)的定义a11a12a13a21a22a23a31a32a33第二章矩阵与行列式§2.2行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11的余子式:a22a23a32a33M11=代数余子式:A11=(1)1+1

8、M11a12的余子式:a21a23a31a33M12=代数余子式:A12=(1)1+2M12a13的余子式:M13=代数余子式:A13=(1)1+3M13a21a22a31a32a11a12a13a21a22a23a31a32a33第二章矩阵与行列式§2.2行列式3阶方阵A=的行列式

9、A

10、定义为a11a12a13a21a22a23a31a32a33

11、A

12、=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11A11+a12A12+a13A13=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13

13、a22a31.第二章矩阵与行列式§2.2行列式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式(minor),记作Mij,令Aij=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式(cofactor).例如,四阶阶行列式中a32的余子式为a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a11a13a14a21a23a24a41a43a44M32=,代数余子式A32=(1)3+2M32=M32.第二章矩阵与行列式§2.2行列式补充.数学归纳法(Prin

14、cipleofmathematicalinduction)1.第一数学归纳法原理:则P对于任意的自然数nn0成立.设P是一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立.②当nn0时,由“n=k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,第二章矩阵与行列式§2.2行列式2.第二数学归纳法原理:设P为一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立,②由“n0nk时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.第二章矩阵与行列式§2.2行列式a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=a11A11+a12A1

15、2+…+a1nA1n假设n1阶行列式已经定义,=a11(1)1+1M11+a12(1)1+2M12+…+a1n(1)1+nM1nn1阶行列式(LaplaceExpansionofDeterminants)P.-S.Laplace[法](1749.3.23~1827.3.5)则定义n阶行列式第二章矩阵与行列式§2.2行列式注:二阶行列式和三阶行列式的对角线法则:a11a12a21a22=a11a22a12a21a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12

16、a21a33a13a22a31.第二章矩阵与行列式§2.2行列式例1.下三角形(lowertriangular)行列式a110…0a21a22…0…………an1an2…ann=a11a22…ann.例2.上三角形(uppertriangular)行列式a11a12…a1n0a22…a2n…………00…ann=a11a22…ann.第二章矩阵与行列式§2.2行列式二.行列式的性质性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则D=0.a11a12a21a22例如=a11a22a12a21,a12a11a22a21=a12a21

17、a11a22.1122D==1122=DD=0.第二章矩阵与行列式§2.2行列式性质2.(线性性质)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).现学现用(1)设A为n阶方阵,则det(A)=____det(A).(1)n(2)a+bc+du+vx+y=[].①acux+bdvy,②acux+aduy+bcvx+bdvy.第二章矩阵与行列式§2.2行列式推论.若行列式D中有两列元素成比例,则D=

18、0.a11…a1i…ka