第3章3-06迭代法和收敛性ppt课件.ppt

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1、3.6线性代数方程组的迭代法3.6.1迭代原理3.6.2雅可比迭代3.6.3高斯-赛德尔迭代3.6.4松弛法3.6.5迭代公式的矩阵表示写成矩阵形式Ax=b其中3.6.1迭代原理设线性代数方程组例用雅可比迭代法求解方程组解从3个方程分离出构造雅可比迭代公式3.6.2雅可比迭代迭代计算k012345…x1(k)00.30.800.91800.97160.9894…x2(k)01.51.761.92601.97001.9897…x3(k)02.02.662.86402.95402.9823…设线性方程组其

2、中系数矩阵非奇异，且主对角元aii≠0，(i=1,2,…,n)，由第i个方程解出xi，有建立迭代格式写成取初值，进行迭代。这种方法称为雅可比迭代法。雅可比迭代公式即i=1,2,…,n雅可比迭代的算法框图3.6.3高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代迭代收敛时，新值xi(k+1)比老值xi(k)更准确，在雅可比迭代中，算出新值xi(k+1)后，用新值xi(k+1)代替用于后面计算的老值xi(k)，期望这样会收敛得更快些。例用高斯-赛德尔迭代法求解方程组解方程组化为等价的方程组构造高斯-赛德尔迭代

3、公式迭代计算：1.562.6842.953870.88041.94448高斯-赛德尔迭代公式0.3计算结果:k0123…x1(k)00.30.88040.98428…x2(k)01.561.944481.99224…x3(k)02.6842.953872.99375…高斯-赛德尔(Seidel)迭代公式3.6.4松弛法矩阵形式Ax=b其中3.6.5迭代公式的矩阵表示n个未知量n个方程的线性代数方程组令其中D为对角阵，L,U为严格下三角阵，严格上三角阵。L+U=D-A雅可比迭代公式分量形式矩阵形式雅可比

4、迭代的矩阵形式雅可比迭代矩阵将L+U=D-A代入写成雅可比迭代的矩阵形式为J为雅可比迭代矩阵。三种迭代格式总结3.7迭代法的收敛性3.7.1收敛的基本定理迭代法收敛的充分必要条件定理迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径ρ(B)<1。.例题试判断迭代公式是否收敛。解迭代矩阵,故迭代发散。迭代法收敛的充分条件3.7.2迭代矩阵法例题试判断以下迭代公式是否收敛：解(1)迭代矩阵，故迭代公式收敛。(2)迭代矩阵故迭代公式收敛。.定理给出的是充分条件，充分而不必要，因此满足定理一定收敛，不满足定理不一定

5、不收敛。例：雅可比迭代矩阵高斯-赛德尔迭代矩阵雅可比迭代收敛。G-S迭代收敛。雅可比迭代收敛。G-S迭代收敛。雅可比迭代收敛。G-S迭代收敛。定理方程组Ax=b，构造雅可比迭代公式x(k+1)=Jx(k)+f.若雅可比迭代矩阵J满足

6、

7、J

8、

9、<1,则高斯-赛德尔迭代收敛。3.7.3系数矩阵法定理严格对角占优方程组的Jacobi迭代与对应的Gauss-Scidel迭代，对任意初值均收敛.—松弛因子,=1即G-S法3.7.4超松弛法(SOR法)SOR方法的收敛性(1)SOR方法对任意都收敛的必要条件是：(

10、2)若系数矩阵A对称正定，则时SOR方法求解对任意收敛；(3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则时SOR方法对任意收敛。