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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_
2、____________。解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）1例2.若函数f(x)，则函数ff(x)的定义域为______________。x11解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1x1即f的作用范围为xR
3、x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应x1x1满足即1，解得x1且x2f(x)11x1故函数ff(x)的定义域为xR
4、x1且x2（2）、已知fg(x)的定义
5、域，求f(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，51⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22x即函数f(x)的定义域为1，5例4.已知f(x4)lg，则函数f(x
6、)的定义域为-------2x8222xx解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg，知022x8x82解得x44，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。x例5.若函数f(2)的定义域为1，1，则f(log2x)的定义域为____________。xx1解析：f(2)的定义域为1，1
7、，即x1，1，由此得2，2211f的作用范围为，2，又f对log2x作用，所以log2x，2，解得x2，422即f(logx)的定义域为2，42评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在
8、区间(a,b）上是增函数.证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使ax1x2b因为ug(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，故函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方
9、便，我们把它们总结成一个图表：yf(u)增↗减↘ug(x)增↗减↘增↗减↘yf(g(x))增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤：ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。（
10、4）例题演练2例1、求函数ylog1(x2x3)的单调区间，并用单调定义给予证明22解：定义域x2x30x3或x1单调减区间是(3,)设
