线性系统的稳定性分析ppt课件.ppt

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1、3-5线性系统的稳定性分析劳斯判据烟台大学光电信息学院3.5.1稳定性的基本概念稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。系统稳定性：如系统处于初始平衡状态，在受到外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰动作用消失后，若系统在有限时间内能恢复到原平衡状态，则系统稳定；否则，系统不稳定。稳定系统不稳定系统若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。3.5.2线性系统稳定性

2、的充要条件线性系统的稳定性取决于系统本身的固有特性，而与外界条件无关。线性系统的特性或状态是由线性微分方程来描述的,而微分方程的解通常就是系统输出量的时间表达式,它包含两个部分:稳态分量和瞬态分量。研究系统的稳定性,就是研究系统输出量中瞬态分量的运动形式。它完全取决于系统的特征方程,即齐次微分方程,这个特征方程反映了扰动消除之后输出量的运动情况。单输入、单输出线性定常系统传递函数的一般形式为系统的特征方程式为此方程的根称为特征根,它由系统本身的参数和结构所决定。从常微分方程理论可知,微分方程解的收敛性完全取决于其相应特征方程的根

3、。如果特征方程的所有根都是负实数或实部为负的复数,则微分方程的解是收敛的;如果特征方程存在正实数根或正实部的复根,则微分方程的解中就会出现发散项。线性定常系统稳定的充分必要条件是：特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根,即特征方程的根均在复平面的左半平面。即闭环线性定常系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在s平面的左半部分。对于s平面右半平面没有极点,但虚轴上存在极点的线性定常系统,称之为临界稳定的,该系统在扰动消除后的响应通常是等幅振荡的。在工程上,临界稳定属于不稳定,因为参数的微小变化就会使极点具有正实部,从

4、而导致系统不稳定。极点位于S左半平面，系统稳定;极点位于S右半平面，系统不稳定;极点位于虚轴上，系统临界稳定.注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。线性定常系统稳定性判断方法：1）有界输入，其输出也为有界的系统为稳定系统。2）单位冲激响应满足绝对可积。3）其极点均位于s左半平面，则系统为稳定系统。4）对复杂高阶系统，利用劳斯稳定判据或赫尔维兹稳定判据进行判定。（一种代数判据）5）利用根轨迹进行系统稳定性判定。（图解法）6）利用奈氏稳定判据或

5、对数频率特性进行系统稳定性判定。（图解法）7）李亚普诺夫稳定性判据。3.5.3劳斯稳定判据根据线性定常系统稳定性的充分必要条件,可以通过求取系统特征方程式的所有根,并检查所有特征根实部的符号来判断系统是否稳定。但由于一般特征方程式为高次代数方程,因此要计算其特征根必须依赖计算机进行数值计算。采用劳斯稳定判据,可以不用求解方程,只根据方程系数做简单的运算,就可以确定方程是否有(以及有几个)正实部的根,从而判定系统是否稳定。以下是劳斯判据的具体内容。设控制系统的特征方程式为（1）劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是：控制系统特征

6、方程的所有系数ai(i=0,1,2,…,n)均为正值，且特征方程式不缺项。（2）列劳斯表。劳斯表劳斯判据：劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数目。例1：设控制系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性。由于该表第一列系数的符号变化了两次,因此该方程中有两个根s右半平面,故系统是不稳定的。解：系统特征方程式的系数均大于零,并且没有缺项,所以稳定的必要条件满足。列劳斯表例2：系统如图所示，确定使系统稳

7、定的K的取值范围。解：系统的闭环传递函数为所以系统的特征方程为列劳斯表如下:根据劳斯判据,系统稳定必须满足因此,使系统闭环稳定的K的取值范围为当K=14/9时,系统处于临界稳定状态。注意：劳斯表中同一行元素同乘以或除以同一个正数，由劳斯判据所得的结论不变。3.5.4劳斯稳定判据的特殊情况1.在劳斯表的某行的第一列某项为零，而其余各项均不为零，或不全为零；可用一个很小的正数ε代替为零的元素,然后继续进行计算,完成劳斯表。试用劳斯判据判别系统的稳定性。例3：系统的特征方程为由于该表第一列系数的符号变化了两次,因此该方程中有两个根在

8、s右半平面,故系统是不稳定的。解:列劳斯表得：其中2.在劳斯表的某一行中，出现所有元均为零的情况。(1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程(2)再将上述辅助方程对s求导(3)用求导后的方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯表。解：列劳斯表例4：系统的特征方程