2014高考文数一轮复习讲义(函数的单调性与最值).doc

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1、2014高考文数大一轮复习讲义函数的单调性与最值——整理:小Z知识梳理一．函数的单调性1.单调函数的定义1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值，，当＜时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.2.如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.二.函数的最值一般地，设

2、函数y=f(x)的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意x属于I，都有f(X)<=M；（2）x0属于Ｉ，使得f（x0）=M.那么，我们称是函数y=f(x)的最大值.一般地，设函数y=f(x)的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意x属于I，都有f(X)>=M；（2）x0属于Ｉ，使得f（x0）=M.那么，我们称是函数y=f(x)的最小值.例题精析【例一】证明函数上的单调性.　　证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0　　　　　则　　　　　∵x1>0，x2>0，∴　　　　　∴

3、上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0　　　　　∴上递减.探究提高：用定义法证明函数的单调性步骤如下：取值——作差——变形——定号——得出结论举一反三：　　用定义证明函数上是减函数.　　思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.　　证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1

4、2)>0　　　　　∴x1f(x2)　　　　　上是减函数.【例二】已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.　　解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知　　　　　只需；　　　　(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4　　　　　∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7　　　　　.探究提高：已知函数单调性求参数的值或取值范围，可通过解不等式等方法求解。但要注意，如果函

5、数在某区间内是单调的，则其在此区间的任意子集上也是单调的。举一反三：　已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.　　解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，　由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.【例三】[2013·宝鸡模拟]已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．解：(1)f(x)＝，x∈[

6、0，a]，(a>0)．(2)函数f(x)的定义域为[0，]，令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈[1，]，f(x)＝F(t)＝＝，∵t＝时，t＝±2∉[1，]，又t∈[1，]时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈[，]．即函数f(x)的值域为[，]．举一反三：已知函数.　　(1)判断函数f(x)的单调区间；　　(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.　　思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.　　解：(

7、1)　　　　　上单调递增，在上单调递增；　　　　(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增　　　　　∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2　　　　　x=3时f(x)有最大值　　　　　∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.习题精练一、选择填空。1．（2013北京）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（A）y=(B)y=e-x（C）y=-x2+1(D)y=lg∣x∣2．(2011年广东惠州调研)已知定义域为(－1,1)的奇函数y＝f(x)又是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0.则a的取值

8、范围是(　　)A．(3，)B．(2，3)C．(2，4)D．(－2,3)3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)4.（2012安徽）若函数的单调递增区间是,则5．(2011江苏)函数f(x)＝log5(2x＋