量子力学试题.docx

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1、郑州轻工业学院2006—2007学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷（A）题号一二三四总分得分得分评卷人一、基本概念解释与简答题（每题7分，共14分1.哪些实验表明电子具有自旋现象？举例说明电子具有自旋。电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。实验事实：①原子的精细结构②塞曼效应③斯特恩－盖拉赫实验——3分斯特恩－革拉赫实验：现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。——2分解释：对于基态氢原子，,没轨道角动量，因此与磁矩无相互

2、作用，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条,说明是空间量子化的，只有两个取向，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩,即自旋磁矩。——2分2.为什么说轨道角动量具有空间量子化现象？画出l=3时角动量空间量子化分布图。因为轨道角动量及其分量是取分离值，而不能取任意值。——3分——4分得分评卷人二、证明题（共16分）1.证明：。(5分)证明：设任意态函数——4分——1分1.证明：厄密算符的本征值必为实数。(5分)证明：设：为厄密算符，为其本征值，因此有，——3分取：，——2分所以：是实数。2.设电子1

3、、2的自旋分别为：，体系处于对称波函数为的状态，证明：总自旋角动量平方Z分量的本征值为。(6分)证明：,——2分由单一电子本征方程：——2分——2分所以得分评卷人三、计算题（共70分）1.一维谐振子处在第一激发态，其中，求：（1）粒子的概率密度；（2）几率最大的位置。（10分）解：（1）（5分）（2）令，(3分)得（2分）2.设，在表象中，，其中，用微扰论求能级修正（准到二级近似），并绘出示意图。（20分）解：——2分，对于题设——4分——4分对于——4分——4分图：——4分3.已知氢原子在时处于状态其中，

4、为该氢原子的第个能量本征态。求：（1）能量的可能值、相应概率及平均值；（2）自旋分量的可能值、相应概率及平均值；（3）写出时的波函数。（20分）解（1）已知氢原子能量为，因为，则氢原子能量的可能值为，——3分归一化：，能量的可能取值为，相应的取值几率为——3分能量平均值为——3分（2）将时的波函数写成矩阵形式——3分自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为——3分自旋分量的平均值为——3分（3）时的波函数——2分1.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。求粒子能量的可能值相应的概率

5、及平均值。解：宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数——3分由三角公式：——5分能量本征值——3分——3分出现的几率,出现的几率——3分能量平均值——3分郑州轻工业学院2007—2008学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷（B）题号一二三四总分得分得分评卷人一、基本概念解释与简答题（每题7分，共14分）1.解释斯特恩-革拉赫实验。答：斯特恩－革拉赫实验能够说明电子具有自旋角动量：基态氢原子束通过不均匀磁场时，射到照相片，出现两条分立线。——3分如磁矩在空间可取任何方向，照片上应是一连续带，但实验结果只有两

6、条,说明是空间量子化的，只有两个取向，对S态,,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩,即自旋磁矩。——4分2.解释隧道贯穿现象(要求画出图形)，该现象说明微观粒子具有什么性质？时，电子也有可能穿越势垒的可能，这表明电子具有波粒二象性。——3分——4分得分评卷人二、证明题（共16分）1.证明：(5分)证明：——2分——2分——1分2.证明：是线性算符。(5分)线性算符满足：令——3分——2分1.设电子1、2的自旋分别为：处于对称波函数为的状态，证明：总自旋角动量平方的本征值为。(6分)证明：,——

7、2分由单一电子本征方程：——2分——2分所以得分评卷人三、计算题（共70分）1.一维运动的粒子处于的状态，式中，求：（1）证明归一化常量；（2）粒子的概率密度；（3）粒子出现在何处的概率最大？（10分）解：（1）,——3分(2)——3分(3),,——3分——极小值——极大值，所以处概率最大。——2分2.设一体系未受微扰作用时只有两个能级；及，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为，；均为实数。用微扰公式求能量至二级修正值。（20分）解：由微扰公式得得——4分——4分——4分∴能量的二级修正值为——4分——4分3.

8、一粒子在一维势场中运动，其势能分布为，求粒子的能级和对应的波函数。解：薛定谔方程：，——4分，——4分，令，方程的解为：，利用边界条件：得：，即：，，（时，，无物理意义）,对应的波函数为：。——4分利用归一化条件：,得：，——4分归一化后的波函数为：。——4分4.设力学量F在某一表象A中的矩阵为，其中为常数，求：(1)F的本征值、正交归一本征函数。(2)F的对角化矩阵及其幺正矩阵。解:1.设力学量F在某一表象A中