2007用矩阵特征值与特征向量的计算ppt课件.ppt

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1、7.若矩阵A=(aij)满足则成A为严格对角占优矩阵.试证严格对角占优矩阵A经过一步Gauss消元后,所得的A(2)仍为严格对占优矩阵.证明:第三章矩阵特征值与特征向量的计算计算方法第三章§3.1乘幂法及其变体§3.2子空间迭代法§3.3Jacobi旋转法§3.4Householder方法§3.5QR算法计算方法第三章§3.1乘幂法及其变体3.1.1乘幂法3.1.2反幂法3.1.3乘幂法的加速计算方法第三章设A为n阶方阵，若有数使得则称为A的特征值，x为相应于的特征向量。(3.1.1)计算方法第三章特征问题的求解包括求特征值，满足求特征向量满足齐次方程组(3.1.2)(3.1.3

2、)称为A的特征多项式计算方法第三章设为　　　的特征值且,其中x≠0，则1)为cA的特征值（c为常数c≠0）2)为　　的特征值，即3)为Ak的特征值计算方法第三章4)设A为非奇异矩阵，那么且为A-1特征值，即5)6)计算方法第三章7)设　　　为对称矩阵(其特征值次序记为),则对于任意非零计算方法第三章乘幂法用于求大型稀疏矩阵的主特征值的迭代方法。其特点为公式简单，易于在计算机上实现。计算方法第三章乘幂法的计算公式设取初始向量令……由此可得向量序列(3.1.4)计算方法第三章由(3.1.4)，有(3.1.5)称此方法为乘幂法(3.1.4)或(3.1.5)称为乘幂公式称为乘幂序列计算方法第三章定

3、理3.1设有完全特征向量系，若1,2,…,n为A的n个特征值，满足

4、1

5、

6、2

7、…

8、n

9、对任何初始向量由乘幂公式所确定的迭代序列有下面的结论：计算方法第三章定理3.1(1)当

10、1

11、>

12、2

13、时，有此极限过程的收敛速度取决于的程度。r越小收敛越快。r接近于1时，收敛很慢。且（当k充分大时）可取作为相应于1的近似特征向量。计算方法第三章(2)当

14、1

15、=

16、2

17、>

18、3

19、时，有①若1=2，则主特征值1及相应特征向量的求法同(1)。②若1=－2，则有此极限过程的收敛速度取决于的程度。向量分别作为主特征值1，2相应的近似特征向量计算方法第三章乘幂法可用于近似计算矩

20、阵按模最大的一个（或几个）特征值以及相应的特征向量当比值时，收敛速度快计算公式简便，便于在计算机上实现。计算方法第三章规范化的乘幂法公式令表示向量x个分量绝对值最大者，即如果有某个i0，使得则令规范化的乘幂法公式计算方法第三章规范化乘幂法的步骤取n维异于0的初始向量x(0)一般让x(0)满足　　　　　　即对于k=0,1,2,……按如下式迭代计算方法第三章终止条件输出结果计算方法第三章例题例3.1用规范化乘幂法计算矩阵A的主特征值及相应的特征向量计算方法第三章乘幂法的加速引进参数，用矩阵来代替A进行乘幂迭代。设为矩阵B的特征值，则B与A特征值之间应有关系式设为矩阵A相应于的特征向量，则也是的

21、特征向量。计算方法第三章对任何关于矩阵B的乘幂公式（3.1.5）可表示为计算方法第三章为加速收敛速度，应如此选择参数，使达到最小。(3.1.29)计算方法第三章原点移位法是一个矩阵变换过程，变换简单且不破坏原矩阵的稀疏性。但由于预先不知道特征值的分布，应用有困难。通常对特征值的分布有个大略估计设定一个参数值进行试算，当所取对迭代有明显加速效应以后再进行试算。计算方法第三章例题例3.2计算矩阵A的主特征值计算方法第三章反幂法用来求A的绝对值最小的特征值及相应的特征向量。设A可逆，由可知即若为矩阵A的特征值，则必为矩阵的特征值，且特征向量相同。计算方法第三章反幂法迭代公式(3.1.24)由（3

22、.1.24），可求出的按模最大特征值，再取倒数即可得到矩阵A的按模最小特征值。计算方法第三章规范化的反幂法公式系数矩阵A是不变的，可利用矩阵的三角分解A＝LU计算方法第三章在

23、1

24、

25、2

26、…>

27、n

28、>0的情形，有(3.1.24)且知即为相应的近似特征向量，它的收敛速度取决于的大小。计算方法第三章反幂法的求解步骤分解计算反幂法迭代(1)(2)k=1,2,…1)2)求求