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《环球2011年公共基础第.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5．计算三重积分，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域。【解】积分区域而于是【解】Ω1是上半球Ω2是Ω1的，位于第一卦限内。Ω1关于yOz面和zOx面都对称，所以只要被积函数对x及y都是偶函数，就有上述四个选项中，只有当f(x,y,z)=z时，上述关系才成立，故应选（C）。本题也可以采取如下解法。由于Ω1关于yOz面对称，而被积函数关于x是奇函数，故有但因此（A）不正确。同理，(B）和（D）也不正确。故应选（C）。1.选择题：由曲面z=及z=x2＋y2所围成的立体体积为＿。【解】由得z=l(z=0舍去），故两曲面所围立体在XOY平面上的投影区域为x2＋y2≤1。利用柱
2、面坐标系，可得该立体的体积为故应选（A）。2.选择题：立体Ω={(x,y,z)
3、4≤x2＋y2＋z2≤9，z2≤x2＋y2｝的体积为——【解】利用球面坐标计算，可得故应选（B)四、平面曲线积分格林公式（一）平面曲线积分的概念与性质1．对弧长的曲线积分的概念与性质设L为平面内一条光滑曲线弧，f（x，y）在L上有界，将L任意划分成n个小段，第i个小段的长度为Vλ，（,）为第i小段上任一点，＝max,若极限总存在，则称此极限为f（x，y）在L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作,即若曲线形构件L在点（x,y）处的线密度为（x，y)，则曲线积分(x,y)ds就表示此构件的质量M，即当L为闭
4、曲线时，曲线积分记为f(x,y)ds.第一类曲线积分具有如下性质：2对坐标的曲线积分的概念与性质设L为平面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，P（x，y）、Q(x，y)在L上有界，将L任意分成n个有向小弧段(I=1,2,…,n;M0=A,Mn=B),=xi–xi-1,=.任取（,），记=max,若极限总存在，则称此极限为P（x，y）在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作P(x,y)ds,即类似地定义Q（x，y）在有向曲线弧L上对y的曲线积分。Q(x,y)dy,即对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分。P(x,y)dx+Q(x,y)dy通常写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy。若某质点
5、沿有向曲线弧L移动，受变力F=(P(x,y),Q(x,y))作用，则变力作的功为对坐标的曲线积分具有如下性质：其中L-表示与L反向的有向曲线弧。其中a、为常数。2．三重积分的计算法(1）利用直角坐标三重积分的计算(l）利用直角坐标计算三重积分设Ω=(（x,y，z）
6、（x，y）∈Dz,c≤z≤d)，其中Dz是竖标为z的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则有(2）利用柱面坐标计算三重积分直角坐标与柱面坐标的关系是(3）利用球面坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系是（三）例题1．计算，其中D是由抛物线，y2=x及直线y=x-2所围成的闭区域。【解】两曲线的交点是（1，-1）、（4,2
7、）。积分区域D（图1-3-4）可表成从而2．计算,其中D是x轴、y轴和抛物线y=1–x2所围成的在第一象限内的闭区域。【解】抛物线y=1–x2与x轴、y轴的交点依次为（1，0）及（0，1），积分区域D（图1-3-5）可表成从而3．计算，其中D是由中心在原点、半径为α的圆周所围成的闭区域。【解】在极坐标系中，闭区域D可表成于是4．交换积分次序，二次积分化为［解」由所给的二次积分，可得积分区域更换积分次序，得故选（B）。2．三重积分的计算法(1）利用直角坐标三重积分的计算(l）利用直角坐标计算三重积分设Ω=(（x,y，z）
8、（x，y）∈Dz,c≤z≤d)，其中Dz是竖标为z的平面截闭区域Ω
9、所得到的一个平面闭区域，则有(2）利用柱面坐标计算三重积分直角坐标与柱面坐标的关系是(3）利用球面坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系是（三）例题1．计算，其中D是由抛物线，y2=x及直线y=x-2所围成的闭区域。【解】两曲线的交点是（1，-1）、（4,2）。积分区域D（图1-3-4）可表成从而2．计算,其中D是x轴、y轴和抛物线y=1–x2所围成的在第一象限内的闭区域。【解】抛物线y=1–x2与x轴、y轴的交点依次为（1，0）及（0，1），积分区域D（图1-3-5）可表成从而3．计算，其中D是由中心在原点、半径为α的圆周所围成的闭区域。【解】在极坐标系中，闭区域D可表成于是4．交
10、换积分次序，二次积分化为［解」由所给的二次积分，可得积分区域更换积分次序，得故选（B）。平面曲线积分的计算法1第一类曲线积分的计算法设f(x，y)在曲线弧L上连续，L的参数方程为在［a，β］上具有一阶连续导数，且如果曲线L由方程y=y(x)(a≤x≤b）给出，则有如果曲线由方程ρ=ρ(θ)（α≤θ≤β）给出，则有2第二类曲线积分的计算法设函数P（x，y),Q(x，y)在有向曲线弧L上连续,L的参数方程为.当t单调地由a变到β时，点M从起点A沿L
