环球2011年公共基础第15~21

《环球2011年公共基础第15~21》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、JJJxdxdydz5.计算三重积分％其中Q为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的W区域【解】积分区域-x(x,y)EDiIfijD=1(x,3»)I♦丁是l_4ox2.r2+x3)djc=【例1-3-21］设A=!(a-,>,z)lx2+>2+z2^i?2,2；^0

2、,^2=)(a;，3>,2：)1rr2+y2之20,h则【解】Q,是上半球h是h的4,位于第一卦限内。1关于yOz而和zOx而都对称，所以只要被积函数对x及y都是偶函数，就有Jf(Tty,z)dv=4Jf(x9ytz)dv•上述四个选项中，只有当f(x,y,z)=z吋，上述关系才成立，故应选(

3、C)。本题也可以采取如下解法。由于关于yOzjflf对称，而被积蝻数关于x是奇函数，故有xdv-0,xdv#0,因此（A）不止确。同理，（B）和（D）也不正确。故应选（C）1.选择题：由曲而Z=心2+）72及z=x2+y2所闱成的立体体积为.dz(B)(C)J。sin^d^r?dr(D)d^sin^d^J'^drz=^/x2+y【解】由22z=x2+)r得z=l（z=0舍去），故两曲Ifd所围立体在XOY平

4、fd上的投影区域为x2+y2<1。利用柱面坐标系，可得该立体的体积为故应选（八）为(x,y,z)

5、4^x2+y2+z2^9,z2^x2+y2｝的体积(B)JX^sin^Or

6、pd0(drfdzJoJ2JoV=Jd^J;sin^d央JPdr，解】利用球面嫩标计算，可得故应选（B）四、平面曲线积分格林公式（一）平而曲线积分的概念与性质1.对弧长的曲线积分的概念与性质{'，…，设L为平而内一条光滑曲线弧，f（X，y）在L上有界，将L任意划分成nf小段，笫i个小段的长度为V，（$,%）为第i小段上任一点，乂=max若极限zt总存在，贝Ij称此极限为f(X,y)在L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作(冰BPf(x9y)ds=姆2/(色，7')如n若曲线形构件L在点(x,y)处的线密度为"(x,y),则曲线积分y)ds就表示此构件的质量M,即当L为闭曲线

7、时，曲线积分记为Of(x,y)ds.笫一类曲线积分具脊如卜*性质：(1).J^[/(U)±g(x,^)]d5=±二g(u)cb(2)[々/(x,.y)cb=Jf(x，y)ds(i为常数)JLJL(3)丨fCr,y)ds=[/(x.y^ds+ff(x,y)ds(L=Li+L2)JLJL,J•2对坐标的曲线积分的概念与性质设L为平而内从点A到点B的一条存向光滑曲线弧，P(x,y)、Q(x,y)在L上有界，将L任意分成n个有向小弧段(I=1,2,-,n;Mo=A,M„=B),iH.v>’,.=X-X-I•任取(I7。e记A=max{'若极限A-*0:7JA27总存在，则称此极限为P(x,y

8、)在冇向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作LP(x,y)ds，即炎似地定义Q(x，y)在存向曲线弧L上对y的曲线积分。hQ(x，y)dyQ(x,y)dy=lim2对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分。tP(x,y)dx+LQ(x,y)dy通常写成hP(x，y)dx+Q(x,y)dy。若菜质点沿有向曲线弧L移动，受变力F=(P(x,y),Q(x,y))作用，则变力作的功为W=IP(xty)dx+Q(x,^)d>JL对少称的曲线积分具科如下性质:⑴！Pdx+QdyjLPdx+Q6y+IPdjr+Qdy(L=+L2)(2)

9、F(xt^)d

10、示与L反向的冇向曲线弧(3)aP(x,y)dx+=aP(x,y)djc+Q(x,y)dyJLJLJL其中a、P为常数2.三重积分的计算法(1)利用直角坐标三重积分的计算(1)利用直角坐标计算三重积分设zt(^'»^>9(a»>F)GD},M0={(^,^)(p{，则Jf(^c^y>x)dv=Jj/(x»5»,^)dxdjdz=Jhj'dyj2^f(x^y,z)dz((x,y,z)

11、(x,y)EDZ,c彡z)，其中卩2是竖标力z的平面截闭区域Q所得到的一个平而闭区域，则冇—Jdzjj/Ci^jddLzdy(这个办法也称截面法)。n(1)利用柱面坐标计算三重积分直角坐标与柱面坐标的

12、关系是•r=pcos^，)=^si⑽，z=z(0^o<+oo，0<0<2兀,一oo<><十⑺〉ojj/(a',>>»«)dv=Uj/(pcos<9,psin6,z)pdpdddz^an设打=0)，0，之)

13、90)，仍«2：2(/>，<9)，0^〉60，其中D=Kp^)lpt(^)^p^p2(^),f(pcosd9psd9z)dz^(2)利用球面坐标计算三重积分直角少标与球面少标的关系是a:—rsin^cos5,^=rsin^sinZ?^=rcosyi«