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1、3.2.1 对数及其运算(二)【学习要求】1.加深对数的概念;2.了解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式;3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.【学法指导】通过对数运算性质的推导及对数式的运算、求值、化简,培养分析问题、解决问题的能力及数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.填一填：知识要点、记下疑难点1.对数运算法则:loga(MN)＝logaM＋logaN,loga＝logaM－logaN,logaMn＝nlogaM.2.logbN＝叫做换底公式,logam bn＝logab,logab＝(或 lo
2、gab·logba＝1).研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算,指数也有三种运算,那么,对数有怎样的运算？探究点一 积、商、幂的对数问题1 指数的运算法则有哪些？答：am·an＝am＋n;am÷an＝am－n;(am)n＝amn;＝a.问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗？答：指数式与对数式的互化公式为:ab＝N⇔logaN＝b.问题3 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？(1)设loga2＝m,loga3＝n,求am＋n;(2)
3、设logaM＝m,logaN＝n,试利用m、n表示loga(MN).解：(1)由loga2＝m,得am＝2,由loga3＝n,得an＝3,所以am·an＝am＋n＝2×3＝6,即am＋n＝6.(2)由logaM＝m,得am＝M,由logaN＝n,得an＝N.所以am·an＝am＋n＝M×N,把指数式化为对数式得:loga(MN)＝m＋n.小结：在问题3中的第(2)题中,我们得到loga(MN)＝m＋n,又由logaM＝m,logaN＝n,进行m,n的代换后就得到对数的一条运算性质,即:loga(MN)＝logaM＋logaN.因
4、为同底数幂相乘,不论有多少因数,都是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的积:loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk.问题4同样地,由am÷an＝am－n和(am)n＝amn,也得到对数运算的其他性质:loga＝logaM－logaN;logaMn＝nlogaM(n∈R)(a>0,且a≠1,M>0,N>0).你能不能推导出呢？答:令M＝am,N＝an,则＝am÷an＝am－n,∴m－n＝loga.又由M＝am,N＝an,∴m＝logaM,n＝logaN,即:logaM－logaN＝m－n
5、＝loga;当n≠0时,令logaM＝p,由对数定义可以得M＝ap,∴Mn＝(ap)n＝anp,∴logaMn＝np,将logaM＝p代入,即证得logaMn＝nlogaM.当n＝0时,显然成立.∴logaMn＝nlogaM.小结:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式.对数运算性质可以用简易语言表达:“积的对数＝对数的和”,“商的对数＝对数的差”,“正数的n次方的对数＝正数的对数的n倍”.有时用逆向运算性质:如log105＋log102＝l
6、og1010＝1.例1 用logax,logay,logaz表示下列各式:(1)loga;(2)loga(x3y5);(3)loga;(4)loga.解:(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz;(2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay;(3)loga＝loga－loga(yz)＝logax －(logay＋logaz)＝logax－logay－logaz;(4)loga＝loga(x2)－loga＝logax2＋logay －logaz＝2log
7、ax＋logay－logaz.小结:真数的取值范围是(0,＋∞),log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)不成立,log10(－10)2＝2log10(－10)也不成立.要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN,loga(M±N)≠logaM±logaN.跟踪训练1计算:(1)lg;(2)log2(47×25);(3)lg4＋lg25;(4)(lg2)2＋lg20×lg5.解:(1)lg＝lg102＝lg10＝;(2)log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225
8、＝2×7＋5＝19;(3)lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2;(4)(lg2)2＋lg20×lg5＝(lg2)2＋(1＋lg2)(1－lg2)＝(lg2)2＋1－(lg2)2＝1.探究点二 换底公式与自然对数导引在实际应用中,常常碰到底数不为10
