坐标系与参数方程复习课.doc

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1、复习课　坐标系与参数方程三维目标：1．理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．重点难点：学习重点：极坐标和直角坐标的互化；直线、圆和椭圆的参数方程及直线参数方程中参数的几何意义．学习难点：用极坐标与参数方程研究有关的距离问题、交点问题和位置关系的判定．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简

2、称伸缩变换．2．极坐标与直角坐标的互化：设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，则它们之间的关系为：（极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．）3．直线、圆、椭圆的参数方程（1）过点，倾斜角为的直线的参数方程为（2）圆心在点，半径为的圆的参数方程为（3）椭圆的参数方程为例1．已知曲线的极坐标方程为，以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；（Ⅱ）若曲线经过伸缩变换：得到曲线，且直线与曲线交于，两点，求的值．

3、例2．已知曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线与曲线的普通方程；（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最值．例3．在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求的极坐标方程．（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．例4.已知曲线在平面直角坐标系下的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线的普通方程及极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线：与曲线交于点与直线交

4、于点，求线段的长．1．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为：，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线.(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，点，求的值.2．已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程.（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系；（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围.3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，

5、直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值．方法技巧1.巧用极坐标方程两边同乘或同时平方的技巧，将极坐标方程构造成形如的形式，然后利用互化公式进行转化，最后化简得到直角坐标方程．2.消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．另外，消参时要注意参数的范围．3.应用直线参数方程的注意点：在使用直线参数方程的几何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具

6、备该几何含义.4.圆和圆锥曲线参数方程的应用：有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.例2．在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求的极坐标方程．（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出

7、MN

8、，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（Ⅰ）因为，∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分（Ⅱ）将代入

9、，得，解得=，=，

10、MN

11、=－=，因为的半径为1，则的面积=.【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.29．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．已知点为曲线的动点，点在线段上，且满足，动点的轨迹为．（1）求的直角坐标方程；（2）设点的

12、极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．24．在直角坐标系中，曲线（