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1、复变函数与积分变换期末作业浅谈复变函数与积分变换在机械专业学习中的应用学院：机械工程学院专业班级：机械设计制造及其自动化1307班学号：学生姓名：孙震宇任课教师：丁蕾辅导员：李俊玲【摘要】：“复变函数与积分变换”既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具复变函数起源于分析、力学、数学物理等理论与实际问题，具有鲜明的物理背景。“复变函数与积分变换”课程是机械设计制造及其自动化专业必修的专业基础课，是学习“电工技术”、“机械工程控制基础”、“信号与系统”等多门后继专业课的基础，学习这门课程对于培养学生的专业能力、创新精神以及未来的业务素质都是非常重要的。建立在复变函数理论
2、之上的积分变换方法，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系，既能简化计算，又具有明确的物理意义，在机械工程、电力工程、通信和控制领域、信号分析和图像处理、语音识别与合成等领域中有着广泛的应用。《复变函数与积分变换》这门课程主要是两大部分的内容,一是复变函数的相关知识,二是傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个主要的积分变换。在机械设计制造及其自动化专业中,对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时-频域理论分析等内容要应用复变函数中的方法与拉普拉斯变换进行处理;对线性系统的理论分析要应用拉普拉斯变换进行。复变函数在机械上的应用主要是计算结构的传递函数或模态参数。作为一种中间函数类
3、型，复变函数可以把复杂的线性微分方程变成代数方程来求解，求出阻尼、固有频率等系统的特性参数，从而知道结构在不同激励下的响应如何，应用极其广泛。复变函数对于我们的意义重大，它是我们建立数学模型的最基本的方法。比如传递函数，就要用到拉普拉斯变换。从某种意义是讲，拉普拉斯变换就是《机械工程控制基础》课程这座大房子的重要地基之一，没有它，你就没法将这门课程深入的学习下去。因此《复变函数与积分变换》这门课程对该专业的学习起着重要作用,下面仅就几个简单问题进行分析。一、描述线性系统的微分方程一个物理系统,如果可以用常系数线性微分方程来描述,那么这个物理系统称为线性系统.例如,在RC串联电路中(
4、如图1),电容器的输出端电压Uc(t)与R、C及输入端电压e(t)之间的关系可以用微分方程RCdu/dt=e（t）来描述,它就是一个线性系统。图1对于机械工程控制基础中的许多物理系统不仅可以用微分方程来描述,而且可以用拉普拉斯变换求解。【例1】:如图2所示的机械系统最初是静止的,受一冲击力f(t)=A!(t)的作用使系统开始运动,求由此而产生的振动。【解】:设系统振动规律为x=x(t),且当t=0时,x(0)=x'(0)=0,冲击力f(t)=Aδ(t),弹性恢复力为-kx(x为弹性阻尼系数)。根据牛顿第二定律,有mx''(t)=Aδ(t)-kx(t)即mx''(t)+kx(t)=A
5、δ(t)设L[x(t)]=X(s),对方程两边取拉普拉斯变换,可得ms2X(s)+kX(s)=A于是取拉普拉斯逆变换,得因此,此振动规律是振幅为,角频率为的简谐振动。线性系统的传递函数线性系统的两个主要概念是激励与响应,通常称输入函数为系统的激励,而称输出函数为系统的响应(见图3)。图三如在RC串联电路中,输入端电压e(x)为该系统的激励,电容器的输出端电压uc(t)为该系统的响应。要研究激励与响应同系统本身特性之间的关系,这就需要有描述系统本性特征的函数———传递函数。凡是可用一阶微分方程描述的系统,称为一阶系统。其标准形式的微分方程为a1y'+a0y=f(t)。在零初始条件下对
6、其进行拉普拉斯变换,可以求得一阶线性系统的传递函数为。显然,在同一形式的输入信号作用下,尽管这些系统的输出信号是各不相同的物理量,但是它们的输出信号的形式是相同的。正因为如此,系统的理论分析才具有普遍意义。例如:在RC串联电路中,其传递函数为G(s)=1/(RCs+1)。因此,想要学好专业课,《复变函数与积分变换》课程显然是必不可少的。只有学好《复变函数与积分变换》,在学习专业课中才能轻松自如地掌握相关知识,并运用于实践中去。【结束语】：从以上的问题解决中可以看出，用“复变函数与积分变换”中知识求解线性微分、积分方程及其方程组的解时，有如下的优点：（1）在求解的过程中，初始条件也同
7、时用上了，求出的结果就是需要的特解。这样就避免了微分方程的一般解法中，先求通解再求特解再根据初始条件确定任意常数求出特解的复杂运算。（2）对于一个非齐次的线性微分方程来说，当其次项不是连续连续函数时，用拉普拉斯变换求解没有任何困难，而用微分方程的一般解法就会困得多。（3）用“复变函数与积分变换”中的拉普拉斯变换求解线性微分、积分方程组时，不仅比微分方程组的一般解法简单得多，而且还可以单独求出某一个未知函数，而不需要知道其余的未知函数，这在微分方程组一般解法中通常是不可
