离散余弦变换――DCTppt课件.ppt

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1、离散余弦变换汇报人：IrisY汇报时间：2018.06.05CONCENTS目录定义应用性质010203DCT定义1定义离散余弦变换(DCTforDiscreteCosineTransform)是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFTforDiscreteFourierTransform),但是只使用实数。离散傅里叶变换需要进行复数运算，尽管有FFT可以提高运算速度，但在图像编码、特别是在实时处理中非常不便。离散傅里叶变换在实际的图像通信系统中很少使用，但它具有理论的指导意义。根据

2、离散傅里叶变换的性质，实偶函数的傅里叶变换只含实的余弦项，因此构造了一种实数域的变换——离散余弦变换(DCT)。通过研究发现，DCT除了具有一般的正交变换性质外，其变换阵的基向量能很好地描述人类的语音、图像信号的相关特性。因此，在对语音、图像信号变换的确定的变换矩阵正交变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。在近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。定义离散傅立叶变换：由于许多要处理的信号都是实信号，在使用DFT时由于傅里叶变换时由于实信号傅立叶变换的共轭

3、对称性导致DFT后在频域中有一半的数据冗余。离散余弦变换（DCT）是对实信号定义的一种变换，变换后在频域中得到的也是一个实信号，相比DFT而言,DCT可以减少一半以上的计算。定义DCT的4种常见标准类型DCT-II：DCT-III：DCT-I：DCT-IV：定义为了更好的推导N点长实序列的DCT，首先定义一个新的长度为2N的序列：可看作是将周期为N的序列x[m]做一个周期延拓成一个周期为2N的序列。如图1中的上侧图。定义再来看图1中第一张图是关于m=-1/2对称的，要让他关于m=0对称需要将其向右平移

4、1/2个单位，得到就是关于m=0对称的周期序列了（如图1中的下侧图所示）。定义然后求这个2N序列的DFT：定义令m'=m+1/2代入上式可得DCT-Ⅱ型离散余弦变换：定义变换矩阵C[n,m]:定义从上面的过程也可以直接看出,离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换.变换后的x[n]是以2N为周期,偶对称的序列：我们可以证明C的所有行向量都是正交的，并且归一化了，除了第一个（n=0）：定义为了使其正交化，引入系数a[n]：得到正交DCT:对于正交余弦变换矩阵就有：或者DCT性质2DCT性质

5、02040103DCT是实数、正交DCT可由傅里叶变换的实部求得对于高度相关数据，DCT有非常好的能量紧凑性对于具有一阶马可夫过程的随机信号，DCT是K-L变换的最好近似DCT性质—DCT是正交变换DCT满足一般的正交变换的性质DCT性质—DCT可由傅里叶变换的实部求得DCT是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换（DFT），但是只使用实部，具体指：在离散时间傅里叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数，那么其傅里叶级数中只包含余弦项，再将其离散化可导出余弦变换。DCT性质—对于高度相关

6、数据，DCT有非常好的能量紧凑性大多数信号（声音、图像）经过二维DCT变换后，大部分能量集中在频谱空间的左上角，也即低频部分，使能量能更集中。DCT性质—对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT近似K-L变换K-L变换：结果：DCT性质—对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT近似K-L变换讨论DCT如何近似K-L:一阶马尔可夫过程（Markov-1）：语音和图像处理中常用的数学模型。一个随机信号，若其概率分布函数满足如下关系：则称X(t)为一阶马尔可夫过程。该式的含意是：已知过程在现在时刻的状态

7、，那么，下一个时刻的状态只和现在的状态有关，而和过去的状态无关。DCT性质—对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT近似K-L变换令是Markov-1随机序列相邻两元素之间的相关系数，则该序列的协方差矩阵有如下关系：DCT性质—对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT近似K-L变换按K-L变换的思路，现需要求的特征值及特征向量，以形成变换的正交矩阵A。但对Markov-1过程，协方差阵的特征向量可以解析的给出，因此正交变换的矩阵也可解析得到：是的特征值是方程的根DCT性质—对于具有一阶马尔可夫过程

8、的随机信号，DCT近似K-L变换现考虑时的情况：由：有：必有：再由：DCT性质—对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT近似K-L变换将经简化代入正是DCT变换矩阵！结论：当时，对Markov-1过程做K-L变换的正交矩阵是DCT变换的变换矩阵，也即：此时的DCT近似K-L变换。DCT的应用3DCT应用——图像压缩概论压缩原始多媒体数据压缩后多媒体数据收听压缩后观众的观感不受影响多媒体数据的显著特点是数据量非常大。这对计算机的存储以及网络传输都造成了极