抽象函数方法列举.doc

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1、一、数形法针对选择填空题，有时可利用抽象函数的大致图像求解。例：对函数f(x)是奇函数，且在（0，∞）是增函数，又f（2）＝0，则（f（x）-f（-x））/x＜0的解集为（）解：因为f(x)是奇函数，所以图像关于原点对称，根据题设作出f（x）在R上的大致图像如右，根据所给不等式可推出f（x）/x＜0，即f（x）与x异号。由图像可解得（－2，0）∪（0，2）。二、模型函数方法针对选择填空题，有时可利用抽象函数的模型函数，结合图像求解，对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用。抽象函数是由特殊的、具体的

2、函数抽象而成的，如：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）由正比例函数f（x）＝kx抽象而成f（xy）＝f（x）f（y）由幂函数f（x）＝xa抽象而成f（x＋y）＝f（x）f（y）由指数函数f（x）＝ax抽象而成f（xy）＝f（x）＋f（y）由对数函数f（x）＝㏒ax抽象而成=例：对任意正实数x,y，均满足f(x＋y)=f(x)+f(y)，当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）在〔a，b〕上：A.有最小值f（a）B.有最大值f（b）C.有最小值f（b）D.有最大值f（(a＋b)/2）解：满足f（x＋y）＝f

3、（x）+f（y）的函数模型是正比例函数f（x）＝kx由x＜0时，f（x）＞0可知，k＜0，从而可知y＝f（x）是减函数。应选C。例：对任意正实数x,y，均满足f(xy)=f(x)+f(y)若f(2)＜0,下面不正确的是（）A.f(1)=0B.f(3)＜f(4)C.f(2)+f(1/2)=0D.f(4)+f(1/5)＜0解：满足f（xy）＝f（x）+f（y）的函数模型是对数函数f（x）＝㏒ax，由f(2)＜0，可知0＜a＜1，从而可知y＝f（x）是减函数，所以f(4)＜f(3)。应选B。三、利用函数性

4、质，解函数f（x）的有关问题1、函数求值问题-----根据所给恒等函数性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，或经有限次迭代，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。①赋特殊值例题、若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(1)＝（）解：对于f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f（1）＝f（－1）＋1奇函数f（－1）＝－f（1），故2f（1）＝1，f（1）＝1/2。例题、f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(

5、y)且f(4)=2，则（）解：取x＝y＝2，f（4）＝f（2*2）＝f（2）＋f（2）＝2f（2）＝2,∴f（2）＝1。取x＝y＝√2，f（√2*√2）=f（√2）＋f（√2）＝2*f（√2）＝f（2）＝1，∴1/2。例题、定义在R上的函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，又y=f(x)过点（2，1），y=f(2x)的反函数为y=f-1(2x)，则y=f-1(16)为（）解：令t=2x，y=f(t)则t=f-1(y)所以x=t/2=f-1(y)/2即f（2x）的反函数应该为f-1(x)/2而题中

6、条件给出为f-1(2x)从而有f-1(2x)=f-1(x)/2从而f-1(16)=f-1(8)/2=f-1(4)/4=f-1(2)/8=f-1(1)/16而f(x)过点（2，1）所以f-1(x)过点（1，2）从而f-1(16)=2/16=1/8。②求较大自变量对应的函数值，从找周期或递推式着手。若小自变量有确定值，一般找周期，若无确定值，则进行递推。例题、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若f(2)＝2，则f(2008)=（）解：∵f(x+6)=f(x)+f(3）∴f(-3+6)=f(-3)+

7、f(3）即f(3)=f(-3)+f(3)又f(x)是R上的偶函数，∴f(-3)=f(3)∴f(3)=f(3)+f(3)=2f(3)∴f(3)=0∴f(x+6)=f(x)，f(x)是周期为6的周期函数。∴f(2008)=f(334*6+4)=f(4)又f(4)=f(-2+6)=f(-2)=f(2)=2∴f(2008)=2例题、对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解：令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)

8、]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=,定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。①已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。问题相当于已知中x的取值范围为A，据此求内函数的值域。②已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。这类问题实质上相当于已知的值域B，且据BA,据此求x的取值范围。这类问题的关键在于将看作一个整体，相当于f（x）中的x。例题、已知f(x)的定义域为(0，1)，则y＝f(x＋a)＋f（x－a）（

9、a

10、＜1/2）的定义域是（）