怎样推导梁的应力公式变形公式.doc

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1、05、基本知识怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（@qq.com），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。1*问题的提出12下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。231.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导241.2梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲）551.3弯曲应力公式和变形公式的简要推导661.4梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立772.1梁剪切的应力公式推

2、导882.2梁弯曲的剪应力强度条件的建立993.轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表91*问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，、；刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，、。如，梁弯曲强度条件：；剪切强度条件：刚度条件：挠度；转角这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数，即得。显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进

3、行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。1下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。一般来说，多按静力、几何、物理的顺序分析和讲解这三个方面的问题。力是看不见、摸不着的，只能够感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物体所承

4、受的力（这是力学难学的根本之所在）。变形是可以观测的，或者借助易变形的橡胶模型观测到。由于物体运动可以观测到，速度、加速度不难理解，而绝大部分物体的变形很难肉眼观测，研究平衡状态下的内力和变形的难度进一步加深。物理方面是指材料的力学性质，主要是应力应变关系，这必须试验确定。在材料力学中主要用到线弹性材料胡克定律，基本上没有难度。故，本文按先易后难的顺序（几何、物理、静力）展开分析和研究。1梁的弯曲21.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导1.1.1几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。考察一

5、端固定，一端受弯矩M作用的梁（纯弯曲）。根据“平截面假设”，其变形图示如下：图1-1在平截面假设下，（1）同一横截面上各点（z，y）应变ε沿y线性分布；（2）应变ε与梁高方向的y值成正比，比例常数cx仅与横截面位置有关；（3）中性轴z上各点（y=0）的应变ε为零。MMdxzxyε=ydφdφyxzdxMMdxzεyε=ydφdφyxzdx(a)弯曲前平面图(b)弯曲后平面图(c)弯曲前立体图(d)弯曲后立体图从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴Z）转过一个角度（如图1-1、1-2中的dφ），横截

6、面仍然保持为平面，Mxyz图1-2在平截面假设下同一横截面上各点（z，y）应变ε沿y线性分布，y=0各点为零zεdxyε拉,maxdxε压,maxdxεyαdφMxydxyεdx公式（1）表明：各纵向纤维（x方向）的单位长度伸长量εx（线应变、正应变）可表示为，同一截面各点（y坐标不同）对应的纵向纤维原长dx是一样的，但伸长量ydφ不同，随y线性变化。对于对应的纵向纤维，故各条纵向纤维的单位长度伸长量εx(y)是不一样大的。主题字母ε表示物理量为应变，下标x表示该量ε的方向，圆括号(y)内的y表示εx的自变量是y，即εx(y)表

7、示x方向的纵向纤维线应变，它随y值变化。，表示梁同一横截面上各点的应变εx沿y方向线性分布，沿z方向不变。在y=0，即中性轴z轴上各点的应变为零。正弯曲作用的梁段上，中性层（为xz坐标面）以下的纵向纤维伸长，中性层以上的纵向纤维缩短。1.1.2物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是线弹性的。虽然应变ε沿y线性分布，但不知材料性质时，应力σ不一定线性。沿y线性分布，由于ε(0)=0，故应力σ（y=0）=f(ε)=f(0)=0，假设σ分布如左下图则只有成立。Mεyzεyε拉,maxε压,maxxyzzyyd

8、ydA=bdybh/2h/2σy图1-3弯矩与正应力的一般表达式1.1.3静力学方面——合力定理：合力等于分力之和。在梁的横截面上的“广义合力”为作用在xy面内的力偶M（弯矩），故横截面上各点“正应力”向z轴取力矩的代数和，应该等于弯矩M。把该横截面划分为若干个