工程矩阵理论(倪).doc

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1、双语国际教育版系统分析的数学工具——工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生）倪郁东编著合肥工业大学数学学院目录第一章线性空间与线性变换1§1.1线性空间1§1.2线性变换及其矩阵3§1.3内积空间8§1.4正交变换及其几何与代数特征§1.5应用于小波变换的框架理论15第二章矩阵的标准形理论§2.1线性变换的特征值和特征向量29§2.2矩阵的相似对角化32§2.3特征矩阵的标准形34§2.4矩阵的标准形34§2.5矩阵的最小多项式第三章矩阵分解29§3.1消去法与矩阵三角分解29§3.2矩阵的分解32§3.3矩阵的满秩分解34§3.4矩阵的奇异值分解34§3.5矩阵

2、分解的应用第四章矩阵范数理论及其应用16§4.1范数与赋范线性空间§4.2向量范数及其性质17§4.3矩阵的范数18§4.4范数的应用19第五章矩阵分析及其应用20§5.1矩阵序列20§5.2矩阵级数21§5.3矩阵函数22§5.4矩阵的微分和积分25§5.5矩阵函数的一些应用26§5.6梯度分析和最优化27第六章特征值估计及极性38§6.1特征值的估计38§6.2广义特征值问题40§6.3对称矩阵特征值的极性41§6.4广义特征值分析的应用42第七章广义逆矩阵43§7.1投影矩阵43§7.2广义逆矩阵46§7.3总体最小二乘方法49第八章中的矩阵运算简介50§8.1基本

3、矩阵运算50§8.2矩阵分解52§8.3广义逆矩阵和解线性系统54参考文献57编著者说明1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。2、章节内容包括：定义，结论，例题，定理，推论，注记。其中，定理和例题均有证明或解答，而结论和推论则不加详述。前言矩阵的概念和理论已被广泛地应用于现代科技的各个领域，有力地推动着现代科学技术的发展。矩阵的思想方法，被广大的科技工作者所掌握和应用(矩阵切换器，线性控制理论)，尤其是计算机科学家和控制科学家爱不释手的重要工具。矩阵的概念脱胎于行列式的形式，是作为表达线性方程组的简单记法而产生的，但其发展的历史却耐人寻味。为了求解线性方程组，16

4、93年莱布尼茨首次使用行列式概念，1750年克拉姆()法则创立，1820年高斯()提出消元法（这是一种基本而又重要的方法，广泛用于线性方程组的求解，更重要的是由此凝炼出了矩阵初等变换的基本方法），但矩阵的概念一直没有形成。虽然，1801年高斯已把一个线性变换的全部系数视作一个整体，而爱森斯坦因()在1844年就讨论了线性变换及其乘积，并强调了乘法次序的重要性。直到1851年，西尔维斯特()首先提出使用二维数表的符号表示线性方程组，才引入了矩阵的概念。将矩阵作为一个独立的数学对象进行的研究，开始于1855年以及其后凯莱()发表的一系列研究矩阵理论的文章。在这些文献中，他引进

5、了关于矩阵的一些直至现代仍通用的定义，如矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、矩阵的乘积（并且注意到：矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且矩阵只能用矩阵去右乘）、矩阵的逆、转置矩阵、对称矩阵等，并借助于行列式定义了方阵的特征方程和特征根。1858年凯莱发表了《关于矩阵理论的研究报告》，证明了一个重要结果：任何方阵都满足它的特征方程。这个结果现被称为凯莱－哈密顿定理。由于正是由于这些奠基性的工作，凯莱被认为是矩阵理论的创始人。当然，在矩阵理论之中，也积淀了其它众多科学家的卓越贡献。埃米特()证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如

6、现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施()、布克海姆()等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯()引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯()的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1870年，约当()研究了矩阵化为标准形的问题，建立了著名的约当标准型理论。1892年，梅茨勒()引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论

7、了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。到19世纪末，矩阵理论已日臻完善，但其应用并不十分广泛，这主要归因于大规模线性方程组求解问题的计算复杂度太大，难以手工进行下去。进入20世纪之后，当人们渐渐以为有限维度的矩阵理论和方法已经终结的时候，计算机技术出现了，这使得矩阵理论获得新生。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质即相互关系，矩阵由最初作为一种工具经过一个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵理论。而矩阵理论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论的应用是多方面的，