工科数学分析作业.docx

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1、工科数学分析作业软件学院张骁雄1416班工科数学分析作业第一道题一、题目：（两个重要极限）计算下列函数的函数值并画出图形，观察两个重要极限值。1、y=fx=sinxx2、y=fx=(1+x)1x二、算法及程序对函数fx=sinxx利用MATLAB作图如下：对函数fx=(1+x)1x利用MATLAB作图如下：三、结果函数fx=sinxx在x=0时的极限为limfx=1函数fx=(1+x)1x在x=0处的极限为limfx=e。由所学知识知在x=0处limsinxx=1，lim(1+x)1x=e，两种方法所得结果相吻合

2、。四、分析作出fx=sinxx的图像，观测图形在x=0附近的形状。在区间[-100,100]绘图的代码为：>>x=-100:0.00001:100;>>y=sin(x)./x;>>plot(x,y)>>set(gcf,'color',get(gca,'color'))作出fx=(1+x)1x的图像，观测图形在x=0附近的形状。在区间[0.001,10]绘图的代码为：>>x=0.001:0.:10;>>y1=(1+x).^(1./x);>>plot(x,y1);>>set(gcf,'color',get(gca,'

3、color'))第二道题一、问题：路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时(1)两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？(2)如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？(3)如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、建立模型根据题意，建立模型如图P1=2kwP2=3kwS=20m照度计算公式I=kpsinar2（k为照度系数，可取为1；p为路灯的功率）

4、一、解决方案（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为I1=kp1sinα1R1I2=kp2sinα2R2R12=h12+x2R22=h22+（s-x）2sinα1=h1R1sinα2=h2R2要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点Ix=P1h1(h12+x2)3+P2h2(h22+(s-x)2)3=10(25+x2)3+18(36+(20-x)2)3Ix=-3P1h1x(h12+x2)5+3P2h2(s-x)(h22+(s-x)2)5

5、=-30x(25+x2)5+54(20-x)(36+(20-x)2)5利用MATLAB求得I(x)=0时x的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');s1=vpa(s,8);s1运行结果：s1=19.9.8.-11.*i.e-18.+11.*i因为x>=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：x00.9.19.20I(x)0.0.0.0.0.综上，x=9.33m时，为最暗点；x

6、=19.97m时，为最亮点。（2）路灯2的高度可以变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数：Ix=P1h1(h12+x2)3+P2h2(h22+(s-x)2)3=10(25+x2)3+3h2(h22+(20-x)2)3与（1）同理，求出函数I(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点∂I∂h2=P2(h12+(s-x)2)3-3P2h22(h22+(s-x)2)5=0利用matlab求得x：solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))

7、=0')ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h即x1=20+2^(1/2)*h（舍去）x2=20-2^(1/2)*h∂I∂x=-3p1h1(h12+x2)5+3P2h2(h22+(s-x)2)5=-30(20-2h)(25+x2)5+9h220-x(h22+(20-x)2)5=0利用matlab求解h2solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1

8、/2)*h))^2)^(5/2))=0')ans=7.14.因为h在3~9之间，所以h2=7.42239m再利用matlab求解x和亮度I算法：h=7.42239;x=20-2^(1/2)*hI=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))结果：x=9.5032I=0.0186综上，x=9.5032，h2=7.42239