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1、1.【2019年山西省太原市高三模拟】已知,函数.（1）证明：有两个极值点；（2）若是函数的两个极值点,证明：.【解析】（1）证明：由题意得,令,则在上递增,且,当时,递减；当时,递增,∴,∵,∴.当时,递增；当时,递减,∴是的极大值点.∵,∴.当时,递减；当时,递增,∴是的极小值点.∴在上有两个极值点.（2）证明：由（1）得,且,10∴,.∴=.设,则,∴在时单调递减,则.∴,则.∴.2．【天津市实验中学2019届高三第六次阶段考】已知函数,其中.（1）当时,求曲线在点处切线的方程；（2）当时,求函数的单调区间；（3）若,证明对任意
2、,恒成立.【解析】（1）当时,则函数,则,则,曲线在点处切线的方程为,即.（2）由函数,则,令,,,又,①若,,当变化时,,的变化情况如下表：10+0-0+极大值极小值所以在区间和内是增函数,在内是减函数.②若,,当变化时,,的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在和内是增函数,在内是减函数.（3）因,所以在内是减函数,又,不妨设,则,.于是,等价于,即,令,因在内是减函数,故,从而在内是减函数,10∴对任意,有,即,∴当时,对任意,恒成立.3．【内蒙古2019届高三高考一模】已知函数．(1)当时,讨论函数的单调区间；(2)当时
3、,求证：．【解析】(Ⅰ)当时,,,当时,在上恒成立．函数在单调递减；当时,由得,由得,的单调递减区间为,单调递增区间为,综上,当时,的单调递减区间为,无单调递增区间,当时,的单调递减区间为,单调递增区间为．(II)证明：,,即,欲证．即证明,令,则,显然函数在上单调递增,,即,在上单调递增,时,,即,10当时,成立．4．设函数,其中.（1）若,讨论的单调性；（2）若,（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点,为的零点,且,证明.【解析】（1）解：由已知,的定义域为,且,因此当时,,从而,所以在内单调递增.（2）证明：（i）由（I）知
4、,,令,由,可知在内单调递减,又,且,故在内有唯一解,从而在内有唯一解,不妨设为,则,当时,,所以在内单调递增；当时,,所以在内单调递减,因此是的唯一极值点.令,则当时,,故在内单调递减,从而当时,,所以,10从而,又因为,所以在内有唯一零点,又在内有唯一零点1,从而,在内恰有两个零点.（ii）由题意,,即,从而,即,因为当时,,又,故,两边取对数,得,于是,整理得,5．【安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷】已知函数,（1）若函数有个零点,求的取值范围；（2）若有两个极值点,且,求证：【解析】（1）令,故若,函数无零点,不合
5、题意则令,则当时,,当时,,作出函数的图像如图所示：10则时,与有两个交点即时,有个零点即的取值范围为（2）由题意得：,则令有两个极值点,解得：则是方程的两根,且令,则,10,,使得故当时,；当时,即在上单调递减；在上单调递增又,当时,函数在上单调递增即6．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数,其中.（1）设是函数的极值点,讨论函数的单调性；（2）若有两个不同的零点和,且,（i）求参数的取值范围；（ii）求证：.【解析】（1）,若是函数的极值点,则,得,经检验满足题意,此时,为增函数,所以当,单调递减；当,单调
6、递增（2）（i）,,记,则,10知在区间内单调递增.又∵,,∴在区间内存在唯一的零点,即,于是,.当时,单调递减；当时,单调递增.若有两个不同的零点和,且,易知,所以,解得.（ii）当时有,令.由（i）中的单调性知,存在,当.,所以.下证当时,.由,所以,由（i）知,当,得..所以,令要证,即证.令单调递增,且,所以单调递增,所以.得证.7．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断】已知函数有两个不同的极值点x1,x2,且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1x2＜a2．10【解析】（1）∵函数,∴x＞0,f′（x
7、）=x-alnx,∵函数有两个不同的极值点x1,x2,且x1＜x2．∴f′（x）=x-alnx=0有两个不等根,令g（x）=x-alnx,则=,（x＞0）,①当a≤0时,得g′（x）＞0,则g（x）在（0,+∞）上单调递增,∴g（x）在（0,+∞）上不可能有两个零点．②当a＞0时,由g′（x）＞0,解得x＞a,由g′（x）＜0,解得0＜x＜a,则g（x）在（0,a）上单调递减,在（a,+∞）上单调递增,要使函数g（x）有两个零点,则g（a）=a-alna＜0,解得a＞e,∴实数a的取值范围是（e,+∞）．（2）由x1,x2是g（x）=
8、x-alnx=0的两个根,则,两式相减,得a（lnx2-lnx1）=x2-x1）,即a=,即证x1x2＜,即证=,由x1＜x2,得=t＞1,只需证ln2t-t-,设g（t）=ln2t-t-,则g′（t）==,令h（t）=
