第三章函数的极限3-1 函数极限概念ppt课件.ppt

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1、一、x趋于时的函数极限在本章,我们将讨论函数极限的基本概念和重要性质.作为数列极限的推广,函数极限与数列极限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就是归结原理.§1函数极限概念数学分析第三章函数极限二、x趋于x0时的函数极限三、单侧极限*点击以上标题可直接前往对应内容x趋于时的函数极限极限.f(x)当x趋于时以A为我们就称函数f(x)当x沿着x轴的正向上,无限远离原点时,也无限地接近A,定义在设函数后退前进目录退出x趋于时的函数极限趋于例如函数当时,10203040O0.51为极限.以x趋于时的函数极限定义1记为或者A为常数.若对于任意正数使

2、得存在x趋于时的函数极限④③①任意给定②存在x趋于时的函数极限④③①任意给定②存在x趋于时的函数极限注数列可视为定义在正整数集上的函数.所以(由定义1),例1证明任给证取与不同点.比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点请大家x趋于时的函数极限例2证任给这就是说x趋于时的函数极限定义2记为或则称x趋于时的函数极限定义3记为或存在当x趋于时的函数极限证对于任意正数这就是说例3证明x趋于时的函数极限例4证明所以结论成立.证对于任意正数,x趋于时的函数极限定理3.1从定义1、2、3不难得到:则由定理3.1，的充要条件是：例如x趋于

3、时的函数极限x趋于x0时的函数极限设函数f(x)在点x0的某空心邻域　　　内有定义.为极限的定义.下面我们直接给出函数f(x)时以常数Ax趋于x0时的函数极限定义1或者记为x趋于x0时的函数极限x趋于x0时的函数极限例5证明分析时,使x趋于x0时的函数极限这就证明了证只要式就能成立,因x趋于x0时的函数极限故取即可.例6证明因为此时有可以先限制故只要所以要使分析x趋于x0时的函数极限这就证明了证有x趋于x0时的函数极限例7证明：注在例5、例6中,我们将所考虑的式子适当放大,不是“最佳”的,但这不影响我们解题的有效性.其目的就是为了更简洁地求出

4、,或许所求出的x趋于x0时的函数极限证首先，在右图所示的单位圆内,显然有即故x趋于x0时的函数极限OCDBAyxx同理可证:x趋于x0时的函数极限例8证明：证因为则这就证明了所需的结论.x趋于x0时的函数极限在上面例题中,需要注意以下几点：,我们强调其存在性.1.对于的不同的方法会得出不同的,不存在哪一个更好的问题.数都可以充当这个角色.3.正数是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.,那么比它更小的正是不唯一的,一旦求出了换句话说,对于固定有时为了方便,需要让小于某个正数.当然也能满足要求.样的能找到相应的,那么比它大的,这个一旦对

5、这x趋于x0时的函数极限平面上以y=A为中心线,宽为的窄带,可以找到使得曲线段4.函数极限的几何意义如图,对于坐标落在窄带内.x趋于x0时的函数极限单侧极限x既可以从x0但在某些时在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候,我们仅需(仅能)在x0的某一侧来考虑,比如函数单侧极限定义5则称A为函数f当时的右(左)右极限与左极限统称为单侧极限.极限,记作有时记A为常数.若对于任意正数,单侧极限为了方便起见,例7讨论函数解因为所以单侧极限定理3.1’由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：注试比较定理3.1与定理3.1’.不存在.单侧极限例9证明狄利克

6、雷函数证处处无极限.单侧极限则有也有证毕.例10对于黎曼函数证因为在(0,1)中分母小于N的有理数至多只有个,单侧极限故可设这些有理数为这就是说，除了这n个点外,其他点的函数值都对以上两种情形都有这就证明了小于.单侧极限所以注有兴趣的读者可以证明：单侧极限我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能否构造一个函数，它仅在处有极限.