梁的变形问题ppt课件.ppt

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1、第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。1、梁的变形1、梁的变形第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程1、梁的变形第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿x轴方向的直线变成一条在xy平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。某截面的竖向位移，称为该截面的挠度某截面的法线方向与x轴的夹角称为该截面的转角挠度和转角的大小和截面所处的x方向的位置

2、有关，可以表示为关于x的函数。挠度方程（挠曲线方程）转角方程1、梁的变形第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程挠度和转角的正负号规定在图示的坐标系中，挠度w向上为正，向下为负。转角θ规定为截面法线与x轴的夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角q为正。1、梁的变形第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程挠度和转角的关系1、梁的变形在小变形假设条件下挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程2、挠曲线近似微分方程纯弯曲情况下梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形影响可以

3、忽略不计。但此时弯矩不再为常数。高等数学中，关于曲率的公式在梁小变形情况下，第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程2、挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程最终可写为第三节梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程yxyx第四节用积分法求梁的弯曲变形第四节用积分法求梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁EI为常数）再进行一次积分,可得到挠度方程其中，C和D是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。边界条件在约束处的转角或挠度可以确定第四节用积分法求梁的弯曲变形1)支承条件：l第四节用积分法求梁的弯曲变形连续条件在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，

4、挠度相等。若梁分为n段积分，则要出现2n个待定常数，总可找到2n个相应的边界条件或连续条件将其确定。第四节用积分法求梁的弯曲变形例4-4如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角和挠度。第四节用积分法求梁的弯曲变形（1）按照图示坐标系建立弯矩方程请同学们自己做一下（2）挠曲线近似微分方程（3）积分第四节用积分法求梁的弯曲变形（4）确定积分常数由边界条件代入上面两式（5）列出转角方程和挠曲线方程，将C、D的值代入方程第四节用积分法求梁的弯曲变形（6）求B点的挠度和转角在自由端，x=l第四节用积分法求梁的弯曲变形例4-5如图所示，简支梁受集中力F作用，

5、已知EI为常量。试求B端转角和跨中挠度。第四节用积分法求梁的弯曲变形（1）求约束反力FAFB（2）列出弯矩方程AC段CB段（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算第四节用积分法求梁的弯曲变形FAFBAC段CB段第四节用积分法求梁的弯曲变形FAFB利用边界条件和连续条件确定四个积分常数AC段CB段边界条件:连续条件:由于挠曲线在C点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。即代入上面的式子第四节用积分法求梁的弯曲变形FAFB得到转角方程和挠度方程AC段CB段（5）求B指定截面处的挠度和转角若第四节用积分法求梁的弯曲变形第五节用叠加法求梁的弯曲

6、变形通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积分法方便。在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材78~79页表4-2计算得出。第五节用叠

7、加法求梁的弯曲变形查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。第五节用叠加法求梁的弯曲变形例4-6求图中所示梁跨中点的挠度及A点的转角。已知，梁的抗弯刚度EI为常数。第五节用叠加法求梁的弯曲变形=+第五节用叠加法求梁的弯曲变形例4-7如图，梁的左半段受到均布载荷q的作用，求B端的挠度和转角。梁的抗弯刚度EI为常数。第五节用叠加法求梁的弯曲变形由于CB段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即C’B