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1、机器人技术概论第二章机器人的数学基础空间任意点的位置和姿态的表示坐标和齐次坐标变换物体的变换与逆变换通用旋转变换第二章数学基础2.1位置和姿态的表示位置描述方位描述机器人技术概论32.1位置和姿态的表示方位描述第二章数学基础4示例：绕x轴旋转了θ角的旋转矩阵，为总之，用位置矢量描述刚体的位置，用旋转矩阵描述刚体的姿态（方位）注：旋转方向按照右手法则2.1位置和姿态的表示位姿描述相对参考系，坐标系的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量和旋转矩阵描述。这样，刚体的位姿可由坐标系来描述，即有第二章数学基础62.2坐标变换平移坐标变换第
2、二章数学基础72.2坐标变换旋转坐标变换第二章数学基础82.2坐标变换复合变换第二章数学基础9例题：已知坐标系的初始位姿与重合，首先相对于坐标系的轴转30度，再沿的轴移动12个单位，并沿的轴移动6个单位。求位置矢量和旋转矩阵。假设点p在坐标系中的描述为，求它在坐标系中的描述。sin0=cos90=0sin30=1/2sin45=cos30=sin90=cos0=1tan0=0tan30=tan45=1tan60=2.3齐次坐标变换在空间直角坐标系中，任意一点可用一个三维坐标矩阵[xyz]表示。如果将该点用一个四维坐标的矩阵[HxH
3、yHzH]表示时，则称为齐次坐标表示方法。在齐次坐标中，最后一维坐标H称为比例因子。比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。(1)从普通坐标转换成齐次坐标时如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)(2)从齐次坐标转换成普通坐标时如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)用4×1列向量表示三维空间坐标系中的点：称为齐次坐标，齐次坐标具有不唯一性。引入齐次坐
4、标后，一般变换变为：2.3齐次坐标变换2.3齐次坐标变换齐次变换矩阵形式：第二章数学基础142.3齐次坐标变换齐次变换规定两矢量的点积为一标量而两矢量的交积为另一个与此两相乘矢量所决定的平面垂直的矢量第二章数学基础152.3齐次坐标变换齐次变换两矢量的交积第二章数学基础162.3齐次坐标变换平移齐次坐标变换第二章数学基础172.3齐次坐标变换旋转齐次坐标变换第二章数学基础182.3齐次坐标变换旋转齐次坐标变换第二章数学基础192.3齐次坐标变换平移和旋转齐次坐标变换2.3齐次坐标变换第二章数学基础212.3齐次坐标变换把旋转变换与
5、平移变换结合起来，变换结果如图2.7所示。第二章数学基础22例题：已知点，对它进行绕轴z旋转90度至点，点绕轴旋转90度至点，求点的坐标在此基础上再进行平移变换，求点的坐标2.4物体的变换及逆变换物体位置描述我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物体的六个点变换如下：第二章数学基础242.4物体的变换及逆变换齐次变换的逆变换第二章数学基础252.4物体的变换及逆变换第二章数学基础262.4物体的变换及逆变换齐次变换的逆变换定
6、义复合变换：第二章数学基础272.4物体的变换及逆变换变换方程初步必须建立机器人各连杆之间，机器人与周围环境之间的运动关系，用于描述机器人的操作。要规定各种坐标系来描述机器人与环境的相对位姿关系。在图2.9(a)中，位姿关系可用相应的齐次变换来描述，机器人控制和规划的目标与其他变换之间的关系可用空间尺寸链（有向变换图）来表示，如图2.9(b)所示。第二章数学基础282.4物体的变换及逆变换变换方程初步第二章数学基础292.5通用旋转变换通用旋转变换公式第二章数学基础302.5通用旋转变换通用旋转变换公式绕矢量f旋转等价于绕坐标系的
7、轴旋转第二章数学基础312.5通用旋转变换通用旋转变换公式因为绕f旋转等价于绕坐标系的轴旋转：第二章数学基础322.5通用旋转变换通用旋转变换公式可得第二章数学基础332.5通用旋转变换等效转角与转轴第二章数学基础342.5通用旋转变换等效转角与转轴令，即：第二章数学基础352.5通用旋转变换等效转角与转轴第二章数学基础362.6小结机器人的数学基础空间任意点的位置和姿态的表示坐标和齐次坐标变换物体的变换与逆变换通用旋转变换为研究机器人运动学、动力学、控制建模提供了数学工具。第二章数学基础37
