数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解ppt课件.ppt

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1、数理方程与特殊函数1非齐次边界条件定解问题求解本次课主要内容(一)、边界条件齐次化方法(二)、分离变量法总结2(一)、边界条件齐次化方法1、一般方法讨论如下定解问题边界条件齐次化：采用未知函数代换法：即：选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。3具体过程：(1)、作代换：(2)、将代换式代入定解问题中得：4(3)、选择W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件齐次！由(2)、只要W(x,t)满足如下条件即可：W(x,t)如何选取？W(x,t)的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法选择W(x,t)令：由*可得：5于是得W(x,t)的

2、一种选择式为：将下式代入原定解问题中：6其中：(**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级数法进一步求解！注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出需要的W(x,t),具体过程如下：7(1)、若边界条件为：作代换：得W(x,t)需要满足的条件为：可令：8(2)、若边界条件为：作代换：得W(x,t)需要满足的条件为：可令：9(3)、若边界条件为：作代换：得W(x,t)需要满足的条件为：可令：10(4)、若边界条件为：作代换：得W(x,t)需要满足的条件为：可令：11例1、设弦的一端（x=0）固定，

3、另一端（x=L）以sinωt作周期振动，这里ω≠nπa/L(n=1,2…)且初值为零。试研究弦的自由振动。解：依题意，得定解问题令：12由边界条件齐次化的多项式待定法可得：代入原定解问题得：该问题可用齐次化原理或级数法求解!13但是，是否可以恰当选择W(x,t)，使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次化，可假定：将u(x,t)=V(x,t)+X(x)sinωt代入定解问题中分析，要使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件，只需X(x)满足：14求出X(x)的解为：于是将代入原定解问题

4、中得：15由分离变量得：原定解问题解为：162、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以令：可以把关于V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。17例2求如下定解问题解：令将其代入定解问题中得：18可将其分解为：于是得：19由分离变量得一般解为：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：20所以，原定解问题的解为：211、适用范围:(二)、分离变量法总结有界域上的波动、热传导定解问题和一些特殊区域上的稳态场方程定解问题；2、基本要求:叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.3、主要方法:(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐

5、次边界条件或园域上的周期性条件);(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。224、主要步骤:(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系。原则是使边界条件表达式最简单。若边界是圆、扇形，柱形，球形，要使用极坐标，柱面坐标和球坐标表示定解问题；(2)、若边界非齐次,作函数代换化为齐次边界问题；(3)、若定解问题是非齐方程、齐次边界条件，采用函数分解方法将定解问题进行分解。分解后考虑采用齐次化原理或固有函数值方法求解。23应用举例解：令将其代入定解问题中得：例3求如下定解问题24可将其分解为：于是得：25由分离变量得一般解为：由初值条件得：由傅立叶级数

6、展开得：2627所以，定解问题的解为：原定解问题的解为：28例4解环形域内的定解问题：分析：定解问题属于环形域内的泊松方程定解问题，因此，不能直接分离变量求解。但是，通过观察方程特征，很容易发现其泛定方程的特解形式为：29因此可采用特解化简方法化泊松方程为拉普拉斯方程解：设方程特解形式为：得：又令代入定解问题并采用极坐标得：30极坐标系下拉氏方程的一般解为：根据等式特点，可令：由边界条件得：31所以有：通过比较系数得：32得：原定解问题的解为：33作业P76—77习题3.6第2、4、5、6题34ThankYou!35解：令取：例求如下定解问题36得定解问题为：其中：

7、37对于(*),采用固有函数值法求解可令：代入(*)中得：38于是由傅立叶余弦展开公式有：其中：39当n≠0时有：其中：40通过计算，得到微分方程的解为：和把它们代入所令一般解表达式即可得定解。41