数值分析第三章 解线性方程组的迭代法ppt课件.ppt

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1、第3章解线性方程组的迭代法迭代法的基本思想是，把n元线性方程组（3.1）或Ax=b改写成等价的方程组，或x=Mx+g迭代法是从某一取定的初始向量x(0)出发,按照一个适当的迭代公式,逐次计算出向量x(1),x(2),…,使得向量序列{x(k)}收敛于方程组的精确解.迭代法是一类逐次近似的方法.其优点是,算法简便,程序易于实现.由此建立方程组的迭代公式x(k+1)=Mx(k)+g,k=0,1,2,…(3.2)其中M称为迭代矩阵。对任意取定的初始向量x(0),由(3.2)式可逐次算出迭代向量x(k),

2、k=1,2,…,如果向量序列{x(k)}收敛于x*,由(3.2)式可得x*=Mx*+g从而x*是方程组x=Mx+g的解,也就是方程组Ax=b的解.这种求解线性方程组的方法称为迭代法,若迭代序列{x(k)}收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.§1Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法Jacobi方法是由方程组(3.1)中第k个方程解出x(k),得到等价方程组:从而得迭代公式式(3.3)称为Jacobi迭代法,简称为J迭代法.,则J迭代法可写成x(k+1)=Bx(k)+gk=0,1,2

3、,…可见,J迭代法的迭代矩阵为若记J法也记为G-S迭代法也可记为式(3.4)称为Gauss-Seidel迭代法,简称为G-S迭代法.若在J迭代法中,充分利用新值,则可以得到如下的迭代公式方程组的精确解为x*=(1,1,1)T.解J迭代法计算公式为例1用J法和G-S法求解线性方程组取初始向量x(0)=(0,0,0)T,迭代可得计算结果列表如下:可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解,而切迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.kx1(k)x2(k)x3(k)‖x(k)-x*‖0123456701.41

4、.110.9290.99061.011591.0002510.998236400.51.201.0550.96450.99531.0057951.000125501.41.110.9290.99061.011591.0002510.998236410.50.20.0710.03550.011590.0057950.0017636G-S迭代法的计算公式为:同样取初始向量x(0)=(0,0,0)T,计算结果为由计算结果可见,G-S迭代法收敛较快.取精确到小数点后两位的近似解,G-S迭代法只需迭代3次,

5、而J迭代法需要迭代7次.kx1(k)x2(k)x3(k)‖x(k)-x*‖012301.41.06340.995104400.781.020480.9952756801.0260.9875161.0019068610.40.06340.0048956为了进一步研究,从矩阵角度来讨论上述迭代法.对线性方程组Ax=b,记D=diag(a11,a22,…,ann)则有A=D-L-U于是线性方程组Ax=b可写成(D-L-U)x=b等价于Dx=(L+U)x+b或x=D-1(L+U)x+D-1b由此建立J迭

6、代法迭代公式x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1bk=0,1,2,…或写成x(k+1)=Bx(k)+gk=0,1,2,…其中G-S迭代法迭代公式可写成x(k+1)=D-1Lx(k+1)+D-1Ux(k)+D-1b讨论迭代法x(k+1)=Mx(k)+gk=0,1,2,…Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b(D-L)x(k+1)=Ux(k)+bx(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b所以G-S迭代法可以写成x(k+1)=Gx(k)+gk=0,1,2,…其中G=(D-

7、L)-1U,g=(D-L)-1b§2迭代法的收敛性的收敛性.记误差向量e(k)=x(k)-x*,则迭代法收敛就是e(k)0.由于x(k+1)=Mx(k)+gk=0,1,2,…x*=Mx*+gk=0,1,2,…所以e(k+1)=Me(k),k=0,1,2,…递推可得e(k)=Mke(0),k=0,1,2,…可见,当k时,e(k)0MkO.对任意初始向量x(0),迭代法收敛(M)<1.定理3.1证若‖Mk‖0,则k(M)=(Mk)‖Mk‖0,所以(M)<1.若(M)<1,

8、则存在>0,使得(M)+<1.则‖Mk‖‖M‖k((M)+)k0.若‖M‖<1,则对任意x(0),迭代法收敛,而且定理3.2证由于x(k+1)=Mx(k)+gx(k)=Mx(k-1)+gx*=Mx*+g所以x(k+1)-x(k)=M(x(k)-x(k-1)),x(k+1)–x*=M(x(k)–x*)于是有‖x(k+1)-x(k)‖‖M‖‖x(k)-x(k-1)‖‖x(k+1)–x*‖‖M‖‖x(k)–x*‖‖x(k)–x*‖=‖(x(k)–x(k+1))+(x(