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1、微积分与数学模型答案【篇一：数学建模课后答案】t>第二章(1)（2012年12月21日）1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）.按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）.1中的q值方法；（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就
2、是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑n=10的分配方案，p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）?pi?13i?1000.q1?p1n?pi?13?2.35,q2?p2ni?pi?13?3.33,q3?p3ni?pi?13?4.32i分配结果为：n1?3,n2?3,n3?4方法二（q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：n1?2,n2?3,n3?4第10个席位：计算q值为2q1??9204.17
3、,q2??9240.75,q3??9331.22?33?44?5q3最大，第10个席位应给c.分配结果为n1?2,n2?3,n3?5方法三（d’hondt方法）此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）.pi是ni每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近.pip中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间
4、的数学模型.解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得?tvdt?2?k?(r?wkn)dnn2?rk?wk22n22vv第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是?，用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v、s、?的关系.解:设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0，其量纲表达式为:[p]=mlt2?3,[v]=lt?1,[s]=l,[?]=ml,这里l,m
5、,t是基本量纲.2?3量纲矩阵为：1?2?10a=????3?1(p)(v)齐次线性方程组为：2?3?(l)01??(m)00??(t)(s)(???2y1?y2?2y3?3y4?0??y1?y4?0??3y?y?012?它的基本解为y?(?1,3,1,1)由量纲pi定理得??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1，其中?是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设
6、v,?,?,g的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，0-1-3[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[g]=lmt,其中l，m，t是基本量纲.-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2量纲矩阵为?1?3?11?(l)?0?(m)110?a=????10?1?2(t)??(v)(?)(?)(g)齐次线性方程组ay=0，即?y1-3y2-y3?y4?0??0?y2?y3?-y-y-2y?034?1的基本解为y=(-3,-1,1,1)由量纲pi定理得*??v?3??1?g.?v???g，其中?
7、是无量纲常数.?16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,?，g的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lm0t0，[g]=lmt0-1-3-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为?1?0a=????1(v)齐次线性方程
8、组ay=0即1?3?100101?(l)10??(m)?1?2??(t)(?)(?)(?)(g)?y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0???y1?y4?2y5?0?的基本解为11
