定积分的物理应用ppt课件.ppt

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1、定积分的物理应用一、平面物质线段的质量二、功三、液体的侧压力四、引力问题一、平面物质线段的质量已知在闭区间[a,b]上的物质直线段L，线密度为(x)，且(x)是连续函数，求线段L的质量.质量元素：从而线段L的质量为L例1一金属棒长3(m)，离棒左端x(m)处的线密度为(x)=问：x为何值时，[0,x]一段的质量为全棒的一半？解[0,x]上一段的质量为而全棒的质量为M(3)=2,故依题意有二、功O问题：设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到x=b，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.由物理学，已知常力F0将质点从点a移至b,所作的功为：1.变力沿直线所作的功功W具有可

2、用定积分计算的量的三个特征，故可考虑用定积分的“元素法”来计算.功元素：注当力的方向与质点的运动方向一致时，W为正；当力的方向与质点的运动方向相反时，W为负.xo例2自地面垂直地向上发射火箭.设火箭的质量为m,求：(1)火箭离开地面距离为h时，克服地球引力所作的功W;(2)若要火箭飞离地球，火箭的初始速度v0至少为多少？解(1)1°建立坐标系(如图)rO设地球的质量为M,半径为R.地平面rO地平面•r用于克服地球引力的外力：2º由万有引力定律，地球对位于点r处的火箭的引力：•h•r+dr功元素：R•地心(2)当火箭飞离地球时，即若要火箭飞离地球，则火箭的初始动能至少要等于火箭飞离地球时

3、克服地球引力所作的功(即由此功全部转化成的火箭的位能)第二宇宙速度一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.2.从容器中抽出液体作的功例3分析把一桶重量为P的水(看成质点),提到高度为h的地方，克服重力所作的功为：然而，现在的情形是将池内的水连续不断地问：要把池内的水全部吸出，需作多少功？点击图片任意处播放暂停抽出，而不是象提水桶那样，整体一下子提到某一高度。在水被抽出的过程中，液面到池口的距离是一个变量.解决的方法：把池中的水分成若干层，则“把池中的水抽空所作的功”=“分别把每层水从池中抽出所作的功的和”.而“把每层水从池中抽出所作的功”“把这层水看成一个整体从池中提到池

4、口所作的功”.解建立坐标系如图这一薄层水的重力元素为:功元素：(千焦)．三、液体侧压力设液体密度为,深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用定积分来解决.平板一侧所受的压力为••面积为A的平板例4小窄条上各点的压强近似相等为的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解建立坐标系如图.所论半圆利用对称性,侧压力元素的方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度端面所受侧压力为注1°当桶内充满液体时,小窄条上的压强近似为为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数2°对于选定的坐标系，平板边界曲线的方程，水深，积分区间一定要匹配！四、引力问题质量分别为的质点,相

5、距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,回顾：两质点的引力则需用积分解决.例5设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,试计算该棒对质点的引力.解建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为注2°若考虑质点沿y轴从a处移到1°当细棒很长时,可视l为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.b(a

6、分表达式dQ一般微元的几何形状有:扇、片、壳等.(2)然后用定积分来表示整体量Q,并计算之.2.定积分的物理应用:曲线弧段的质量，变力作功,侧压力,引力等.条、段、环、带、1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤:思考题解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀,把容备用题例2-1求移动过程中气体压力所作的功.解建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强p与体积V成反比,即故作用在活塞上的力为器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b处(如图),功元素为所求功为例2-2解当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电

7、场力为在一个带+q电荷所产生的电场作用下,一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a