多元函数微分法及其应用ppt课件.ppt

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1、第八章多元函数微分法及其应用引言上册中讨论的函数是一元函数问题.但在许多实际问题中往往涉及到多方面的因素，反应在数学上就是多元函数以及多元函数的微分和积分问题.多元函数微积分的基本概念、理论和方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又有很多本质上的不同.学习时注意比较和区分.为主，讨论多元函数的微分法及其应用.本章将在一元微分学的基础上，以二元函数一、准备知识二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第一节多元函数的基本概念1.平面点集n维空间二元有序数组（x,y）或点的全体，即表示坐标平面.坐标平面上具有某种

2、性质P的点的集合,称为平面点集,记作例圆内所有点的集合：一、准备知识定义了线性运算和距离的集合称为二维空间.n元有序数组n维空间中的每一个元素称为该点的第k个的全体称为n维空间,记作即称为空间中的一个点,坐标.定义了线性运算和距离的集合称为二维空间.推广：2.邻域在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)中点的邻域为1.若不需要强调邻域半径,也可写成2.点P0的去心邻域记为说明：在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域可以互相包含.平面上的方邻域为。3.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某

3、邻域U(P)∩E=,则称P为E的内点；则称P为E的外点；若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.也含E的外点,则称P为E的边界点.(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)所有聚点所成的点集成为E的导集.若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；开区域连同它的边界一起称为闭区域.连通的开集称为开

4、区域,简称区域;E的边界点的全体称为E的边界,记作E;相连,则称D是连通的;例如，在平面上开区域闭区域整个平面是最大的开域,点集也是最大的闭域；是开集，但非区域.o对区域D,若存在正数K,使一切点PD则称D为有界域,否则称为无界域.与某定点A的距离APK,二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强设非空点集点集D称为函数的定义域；数集称为函数的值域.特别地，当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数，记作定义点函数例如,二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.说明:二元函数z=f(x,y),(x

5、,y)D的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为单位闭球图形为空间中的超曲面.三、多元函数的极限设n元函数则称A为函数P0是D的聚点，若存在常数A,对一切记作都有对任意正数，总存在正数,定义(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：(二重极限)例1设求证：证:故总有要证若当点以不同方式趋于函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断一元函数：1.多元函数极限因此，有判定多元函数极限不存在的方法：定函数极限不存在.注：解设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.讨论函数例2则有2.

6、二重极限不同.例如,显然与累次极限：但由例2知它在(0,0)点二重极限不存在.四、多元函数的连续性定义设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数在D上连续.连续,例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.例3求函数的连续域.解只须求出该初等函数的定义区域.定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;对任意有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:2.最值定理1.有界性定理3.介值

7、定理二、多元函数极限的概念三、多元函数连续的概念有界闭区域上连续函数的性质（三个）（注意趋近方式的任意性）一、多元函数的概念小结二元函数图形一般为空间曲面.一切多元初等函数在定义区域内连续.思考题思考题解答不能.例取但是不存在.因为若取作业p.11习题8-11;5.(1);(4);(5);6.(4);(5);7.(1);8;9