7多元函数微分法及其应用.ppt

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1、第7章多元函数微分法及其应用一、内容提要（一）主要定义1．二元函数的极限设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的附近有定义(点P0可除外),点P0的任一个邻域内都有使z有定义的点P(x,y)异于P0,当点P以任意方式趋近于P0时,函数f(x,y)相应地趋于一个确定的常数A,则称A为f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限,记作2．二元函数在一点连续设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某领域内有定义,在点P0处连续.则称函数z=f(x,y)为f(x,y)在P0处对y的偏导数.分别记作3．偏导数设

2、函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,如果极限存在,则称此极限为z=f(x,y)在点P0处对x的偏导数,称极限4．全微分可表示为z=Ax+By+o(),其中A,B不依赖于x,y,则称z=f(x,y)在点(x,y)处可微.此时表达式Ax+By叫做z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分,记作dz,即dz=Ax+By或dz=Adx+Bdy.可以证明dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.z=f(x0+x,y0+y)-f(x0,y0)如果函数z=f(

3、x,y)在点P0(x0,y0)处的全增量5.方向导数设z=f(x,y)在包含P(x,y),P(x+x,y+y)的邻域内有定义,l=(x,y),则f(x,y)在P(x,y)处沿l方向的方向导数定义为类似地可以定义空间上的方向导数为6.梯度(gradient)设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有连续的一阶偏导数,则向量称为z=f(x,y)在点P(x,y)处的梯度,记作gradf(x,y),即（二）主要结论1.可微与可偏导的关系函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微,则必可偏导,即f

4、x(x0,y0),fy(x0,y0)存在,反之不真.特别地,即使fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在,函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处也不一定连续,当然也不一定可微.2.多元复合函数求导法则(1)如果u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)处有偏导数,z=f(u,v)在点(u,v)处有连续偏导数,则z=f[u(x,y),v(x,y)]在点P(x,y)处也有关于x或y的偏导数,则在相应的条件下,还有下列求导公式:(2)若z=f(u,v,w),u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(

5、x,y),则,(3)若z=f(u,x,y),u=u(x,y),则(4)若z=f(u,v,w),u=u(t),v=v(t),w=w(t),则(1)设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的隐函数.3.隐函数的求导公式且二元函数F(x,y)有连续的偏导数,Fy(x,y)≠0,则三元函数F(x,y,z)有连续的偏导数,且Fz(x,y,z)≠0,则(2)设z=z(x,y)是由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数,函数z=z(x,y)(或u=f(x,y,z))在其可微点处沿任何(3)方向导数的计算公式方向l的方向

6、导数都存在,且有下列计算公式空间为其中,为l与x轴和y轴正向的夹角;,,,为方向l的方向角.（三）结论补充处全微分存在.在P0(x0,y0)点连续,则z=f(x,y)在P0(x0,y0)2.在P0(x0,y0)处连续,则二者相等.二阶连续偏导数,又fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0.3.z=f(x,y)在P0(x0,y0)某邻域内连续,且有一阶及记u(x,y)=fxxfyy-fxy2,则u(P0)=0时不能断定.u(P0)>0,fxx(P0)<0时取极大值;u(P0)>0,fxx(P0)>0

7、时取极小值；u(P0)<0时不取极值；4.可微函数z=f(x,y)在可微函数(x,y)=0条件下取极值的必要条件是,令F(x,y)=f(x,y)+(x,y),满足5.曲线在P0(x0,y0,z0)处的切线方程和法平面方程分别为：6.曲面F(x,y,z)=0在P0(x0,y0,z0)处的切平面方程和法线方程分别为：曲面z=f(x,y)在点M0(x0,y0,z0)处切平面上z坐标的7.全微分的几何意义增量就是全微分.注切平面z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0),记x=x

8、-x0,y=y-y0,则全微分dz=fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y8.由两空间曲面决定的空间曲线9.记e=cosi+cosj,,为l的方向角,则10.设u,v都是x,y,z的函数,u,v具有各连续偏导数,f可导,则有(2)grad(uv)=vgradu+ugradv；(1)grad(u+cv)=gradu+cgradv；二、归类解析（一）求导运算1.分段函数例7-1设例7-