直纹面的例子.doc

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1、直纹面的例子例2证明经过单叶双曲面的一条直母线的每一个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线．并举反例说明这个在双曲抛物面的情况下不一定成立．证明　单叶双曲面的两族直母线方程为族　　，　族　．因为过族的任一直母线的平面方程可写成，即．所以此平面通过族直母线的一条直母线．同理可证通过族的任一直母线的每一个平面都经过属于族直母线的一条直母线．但这个结论对于双曲抛物面却不一定成立，例如平面，它通过双曲抛物面的族直母线中的直线．但是它不通过双曲抛物面的族直母线中的任何一条直母线．这是因为族直母线的方向向量＝而平面的法向量，且．（注：若直线在平面内

2、，则直线的方向向量与平面的法向量垂直）例3证明双曲抛物面的()上的两直母线直交时，其交点必在一双曲线上．证明因为相交的直母线必异族，双曲抛物面上的两族直母线方程为，族．两族直母线的交点坐标为　　　　　　　　　　　　　两族直母线的方向向量分别为因为，所以，即.将代入上式得所以交点坐标满足,即.因为,所以为一条双曲线方程,从而交点在双曲线上.练习题：求与下列三条直线都相交的直线所够成的曲面.()