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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三章平面与空间直线§3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点M1(3,1,1)和点M2(1,1,0)且平行于矢量{1,0,2}的平面（2）通过点M1(1,5,1)和M2(3,2,2)且垂直于xoy坐标面的平面；（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与ABC平面垂直的平面。解：（1）M1M2{2,2,1}，
2、又矢量{1,0,2}平行于所求平面，故所求的平面方程为：x32uvy12uz1u2v一般方程为：4x3y2z70（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又M1M2{2,7,3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：x12uy57uz13uv一般方程为：7(x1)2(y5)0，即7x2y170。（3）（ⅰ）设平面通过直线AB，且平行于直线CD：AB{4,5,1}，CD{1,0,2}从而的参数方程为：x54uvy15uz3u2v一般方程为：10x9y5z740。（ⅱ）设平面通过直线AB
3、，且垂直于ABC所在的平面AB{4,5,1}，ABAC{4,5,1}{0,1,1}{4,4,4}4{1,1,1}18⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯均与平行，所以的参数式方程为：x54uvy15uvz3uv一般方程为：2xy3z20.2.化一般方程为截距式与参数式：:x2yz40.解：与三个坐标轴的交点为：(4,0,0),(02,0),(0,0,4)，所以，它的截距式方程为：xyz1.424又与所给平面方程平行的矢量为：{4,2,0},{4,0,4}，所求平面的参数式方
4、程为：x42uvyuzv3.证明矢量v{X,Y,Z}平行与平面AxByCzD0的充要条件为：AXBYCZ0.证明：不妨设A0，则平面AxByCzD0的参数式方程为：xDBCvAuyAAuzv故其方位矢量为：{B,1,0},{C,0,1}，AA从而v平行于平面AxByCzD0的充要条件为：BCv，{,1,0},{,0,1}共面AA19⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯XYZB001AC10AAXBYCZ0.4.已知连接两点A(3,10,5),B(0,12,z)的线段平行于平
5、面7x4yz10，求B点的z坐标.解：AB{3,2,5z}而AB平行于7x4yz10由题3知：(3)724(z5)0从而z18.5.求下列平面的一般方程.⑴通过点12,1,1和23,2,1且分别平行于三坐标轴的三个平面;⑵过点3,2,4且在x轴和y轴上截距分别为2和3的平面;⑶与平面5xy2z30垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;⑷已知两点13,1,2,24,2,1,求通过1且垂直于1,2的平面;⑸原点在所求平面上的正射影为2,9,6;⑹求过点13,5,1和24,1,2且垂直于平面x8y3z10的平面.解:平行于x轴的平面方程为x
6、2y1z11100.即z10.100同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z10,xy10.⑵设该平面的截距式方程为xyz1,把点3,2,2423c4代入得c19故一般方程为12x8y19z240.⑶若所求平面经过x轴，则0,0,0为平面内一个点,5,1,2和1,0,0为所求平面的方位矢量,20⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x0y0z0∴点法式方程为5120100∴一般方程为2yz0.同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x5z0,x5y0.⑷121,1,3.
7、12垂直于平面,∴该平面的法向量n1,1,3,平面通过点13,1,2,因此平面的点位式方程为x3y13z20.化简得xy3z20.(5)op2,9,6.pop4813611.oppn011cos,cos,cos2,9,6.∴cos2,cos9,cos6.111111则该平面的法式方程为296z110.:xy111111既2x9y6z1210.（6）平面x8y3z10的法向量为n1,8,3，M1M21,6,1，点从4,1,2x4y1z2831830，则A写出平面的点位式方程为626,1611B312,C1314,D26422874，1
8、111则一般方程AxByCzD0,即：13xy7z370.6．将下列平面的一般方程化为法式方程。1.x2y5z30.2xy10.3x20.44x4y7z0.解：D3.21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯
