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1、2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)下列反常积分中收敛的是(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。；；；，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A)(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个
2、重要极限(3)设函数().若(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】易求出再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。选A综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为AOB(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。虽然不存在，但点两侧异号，因而()是的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点
3、】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。D的极坐标表示为因此综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵A=,b=。若集合，则线性方程有无穷多解的充分必
4、要条件为(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则，此时有唯一解，排除(A),(B)类似的，若，则，排除(C)当时，，综上所述，本题正确答案是D。【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。(8)设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若Q=在正交变换下的标准形为(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】设二次型矩阵为A,则可见都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-也是A的特征向量，特征值为-1，因此因此在正交变换下的标准二次型为综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换
5、化二次型为标准形。二、填空题：()小题，每小题4分，共24分。(9)设则【答案】48【解析】由参数式求导法再由复合函数求导法则得=,综上所述，本题正确答案是48。【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导(10)函数处的n阶导数【答案】【解析】解法1用求函数乘积的阶导数的莱布尼茨公式其中注意,于是因此解法2利用泰勒展开由于泰勒展开系数的唯一性，得可得综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式(11)设函数连续，.若=1，则【答案】2【解析】改写,由变限积分求导法得由=1=，可得综上所述，本题正确答案是2【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函
6、数的性质及应用(12)设函数是微分方程，且在处取得极值3，则=【答案】【解析】求归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题由特征方程可得特征根于是得通解又已知综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程(13)若函数由方程确定，则【答案】【解析】先求，在原方程中令得方程两边同时求全微分得令得综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，,其中E为3阶单位矩阵，则行列式
7、B
8、=【答案】21【解析】A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1所以
9、B
10、=21【考点】线性代数
11、—行列式—行列式计算线性代数—矩阵—矩阵的特征值三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)设函数,若与在时是等价无穷小，求的值。【解析】利用泰勒公式当时，，则【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式(16)设A>0，D是由曲线段及直线所围成的平面区域，分别表示D绕轴与绕轴旋转所成旋转体的体积。若，求A的值【解析】由A>0可得==又可得A=【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应
