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1、(多元函数微分法及其应用)第八章多元函数微分法及其应用本章主要讨论二元函数的微分法及其应用.第一节多元函数的基本概念一.平面点集n维空间1.平面点集当在平面上引入一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间建立一一对应.这样我们把有序实数组和平面上的点等同起来.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)
2、(x,y)具有性质P}.称为点p(x,y)的全体,邻域：与点的距离小于δ的的δ邻域,记作从几何图形看,U(p0,δ)表示以点δp0(
3、x0,y0)xypE为中心,δ>0为半径的圆的内部所有的点如果不强调邻域半径δ,用U(p)表示点.的邻域内点外点边界点聚点Ep.是E的内点.设E是平面上的一个点集,p是平面上的一个点如果存在点p的某一个邻域U(p),使U(p)∈E,则称p为E的内点.(如图).显然,E的内点属于E,但E的点不一定外点如果存在点P的任一邻域U(p),使U(p)∩E=φ,则称P为E的外点.若点集E的点都是E的内点,则称E为开集,例如,点集E1={(x,y)
4、4<开集.若点p的任一邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点(点p本身可以属于
5、E也可以不属于E).则称p为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界.上面E1的边界是圆周<9}中每个点都是E1的内点,因而E1为=9=4和因此,点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.如果点p的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称p为E的聚点.显然E的内点一定是E的聚点,E的边界点也可能是E的聚点.例如,设一点既是的聚点.并且它们不属于的边界点又是={(x,y)
6、07、0≤x+y≤1}开区域,(它又有一边包含边界)又不是闭区域区域若对于集合
8、D内的任意两点都可以用完全位于D内的折线连接起来,则称集合D为连通集.连通的开集称为开区域.简称例,不是开区域.因为它不是开集.区域连同它的边界一起,称为既不是不是闭区域,(因为它有一边不包含边界)因而={(x,y)
9、010、4<{(x,y)
11、x+y>0}是无界点集.若存在正实数r,使点集表示E内的一切点到原点的距离不超过r.则称点集E为有界点集;否则(表示找不到r)称为无界点集.例如是有界开区域,其中O为坐标点,n维空间1.定义设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有
12、序实数组Rn=R×R×...×R={Rn中的元素,的全体所构成的集合,即
13、xi∈R,i=1,2,..n}也用x表示,即x=当所有的xi=0(i=1,2…n)时,称这样的元素为零元,记为0或O.称为坐标原点或n维零向量.在解析几何中通过直角坐标系,平面或空间中的点或向量建立一一对应,这样在也称为为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量,在中的零元0中的一个点或一个n维向量,而称中的元素)中的元素分别与(或Xρ(x,y),规定2.在Rn中定义线性运算.设x=y=规定x+y=3.Rn中点x=为Rn中任意两个元素,λ∈
14、R之间的距离和点y=λx=结合向量的线性运算,我们得到中两点之间距离一致.显然,n=1,2,3时,上述的规定与数轴上,直角坐标系下平面及空间Rn中元素x=为‖x‖,即与零元0之间的距离ρ(x,0),记由于线性运算和距离的引入,前面研究的邻域,内点,开集,记作x→a4.Rn中变元的极限设x=‖x-a‖→0,则称变元x在Rn中趋于固定元a,闭集等一系列概念都可定义.∈Rn如果a=二.多元函数的概念一对数值(a,b)时,面积S的对应值就随之确定了.1.多元函数的定义在实际问题及科技活动中,经常遇到多个变量之间的依赖关系
15、.看下面的两个例子.例1椭圆的面积S取决于它的长,短半轴长a与b,它们之间有如下关系S=πab(a>0,b>0)这里的a,b在一定范围内取定我们从这里就可以得到二元函数的定义.,数集f(D)={z
16、z=f(x,y),(x,y)∈D}称为该函数的值域.定义1设D是的二元函数,通常记为Z=f(x,y),(x,y)∈D或z=f(p)P∈D其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量记.的一个非空子集,称映射f:D→R为定义在D上类似地可以定义三元及三元以上的函数.三元函数记u=f(x,y,z).点函数z
17、=f(p)(p∈D)是定义在点集D上的一个函数.这里设D是平面点集,则z=f(p)定义的是一个二元函数.如果D是数轴上的点集(或空间内的点集),则z=f(p)定义的是一元(或三元)函数.例2圆柱体的体积V和它的底半径R,高h的关系为:V=πR2h(R>0,h>0).例3在上述函数概念中,关键的两点为:(1)自变量x,y的变化范围,称为定义域;(2)对应法则,即函数关系.关
