例谈高中数学解题中函数与方程思想的运用.doc

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1、例谈高中数学解题中函数与方程思想的运用【摘要】数学中的函数思想是从运动和变化的角度去分析和研究自然界中数量之间的关系，根据已知条件和隐含条件，构造函数解析式，从困数的图像和性质等方向分析问通，将方程问题、不等式问题和其他很多问题转化为与其相关的函敢问题去解决；而方程思想是通过设元，探求已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，在高中数学教学中，函数与方程思想是相互补充，相互完善的。对于很多问题要将二者结合运用去解决。【关键词】高中数学函数与方程思想【中图分类号1G633.6【文献标识码】A【文章编号12095-3089(2015)06-0147-01一、构

2、建函数关系通过对各种数学综合题的研究，我们发现非函数的问题能够通过某种类比或者联想手段能够构造成为函数关系，并旦能够运用函数方法进行解题，这就是函数思想更高级的表现。函数与方程思想解埋主要可以从以下几个方面人手：①利用函数与方程的性质解题；②用函数思想解决数列问？｝；③通数与方程思想解决儿何问题；④构造函数与方程解题等等。本文通过举例探讨函数与方程思想用于数学解?｝的思路与方法。值得注意的是，当我们将非函数通过特殊关系构造成函数时，一定要多挖掘一些已知条件，运用一些类比因素，这样能够促进思维的迁移。同时函数构建的表现还可以运用推理、类比等方法,能够较好的帮助我们完成函数构建。分析：其实看到这

3、个不等式的求解我们很容易能够想到变量分离法，将它转化为二次函数进行求解，只需要求出二次函数的取值范围即可解出该不等式。题目中sin2x与cosx是两个重要的未知量，也是解题的重点所在，我们可以将此作为突破点，然后通过换元，将原不等式进行转化，然后在构造出函数关系，以此求解能够充分简化解题，快速求解。因此不等式的解题可以转化为f(t)min>0的求解，由此我们可以根据函数的定义较为直观的求出不等式的解集。点拨解疑：首先，一般的不等式的求解可以转化为函数的最值问题求解，但是由于这道题无法进行参数分离，所以我们可以对含a的二次函数进行分情况讨论，分为a大于1,小于等于-1和大于-1小于1三种情况，

4、在根据函数性质将其解决。其次，在上题求解中，我们也运用了函数思想,将不等式进行分段讨论，还要结合图形进行分析，这都学生的品质要求相对较高，但是熟练之后解题会极其简单。二、函数与方程思想在解题中的典型应用在本节，将结合一些典型的题目来显现函数与方程思想在解答高中数学题目中所发挥的独特的作用。例2是否存在常数a,b,c,使得等式1?2"2+2?3涉+3?4"2+……+rT(n+l)二对于一切自然数n都成立并证明你的结论。分析：本例属存在型探索题，但也是待定系数法运用的典型题目，问题要求含三个待定常数a,b,c的等式对一切自然数都成立，易联想到用赋值法，此等式必然对a,b,c所取的任何具体的自然数

5、的值都成立.令n=l,2,3,建立a,b,c的三元方程组，转化为方程组是否有解，问题便不难解决了。解析：假设三个常数可以通过等式的形式表达出来，那么我们可以列出如下方程组，令n=l,2,3,得，通过归纳法进行解题，首先将三个等式化简，然后通过相互运算可以结出未知数：。点拨解疑：待定系数法在方程思想中的应用及其广泛，尤其是在高中数学解题中，它的出镜率更是非常高的。对于很多已知某些特殊项的值，或者是前n项的和，求通项或者是求某一个待定系数，我们都可以通过这种方式进行求解。例3存在一条已知的抛物线y二-x"2+nix-1,在该抛物线上任取两个端点A(0,3)和B(3,0),且A与B之间有两个不同的

6、交点，求抛物线中的变量hi的取值范围。分析：可先将求交点的问题转化为二次函数的实根分布问题，然后通过求不等式组的范围解出m的值。从以上给出的例子可以看出，函数与方程思想在高中数学的解题中有着广泛的应用，巧妙利用函数与方程的数学思想通常可以将一个较为复杂抽象的题目转化为简单具体的问题进行分析。看到一个题目，首先要想想是否可以一个代数式抽象成为看成一个函数把方程化作函数，把字母可以设为变量，以此为解题依据。结语函数与方程是高中数学中的主线，它不仅是对中枢中相关变量之间关系的描述，更是我们解题的重要手段。我们可以通过函数与方程的性质求解出大量复杂的问题。函数思想与方程思想的结合与运用丰富了学生解题

7、思想，简化了解题流程，在高中数学思想中有着不可忽视的地位。参考文献：[1]牛含冰.函数思想在解题中的体现[J].高中数理化・2011(17)[2]李侠.函数与方程思想在解题中的运用举隅[J].数理化学习(高中版)・2010(08)