空间向量的正交分解及其坐标表示ppt课件.ppt

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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo【温故知新】问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：如果

2、三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使都叫做基向量（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使当且仅当x+y+z

3、=1时，P、A、B、C四点共面。例1设且是空间的一个基底,给出下列向量组②③④,其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断A1AD1C1B1DCB设,易判断出答案C例题讲解：2、已知向量是空间的一个基底,从中选一个向量，一定可以与向量构成空间的另一个基底？练习11、已知O,A,B,C为空间四个点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面1、已知向量{

4、a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．思考二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。xyzO

5、e1e2e3给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)三、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3例2·EFC’D’BCB’ADA’xyz变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。

6、AO

7、=4,

8、BO

9、=2,

10、AA’

11、=4,D为A’B’的中点，如图建立直角坐标系，则xyzOAA’BB’O’DOBBANCOMQP例3

12、、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量表示和。练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().(A)a－b+c122312(B)－a+b+c122312(C)a+b－c122312(D)a+b－c122323OABCMN练习2P94练习的第3题3.1.5空间向量运算的坐标表示【温故知新】平面向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示又是怎样的呢?类比是我们探究规律的重要方法【新知探究】平面向量运算的

13、坐标表示：类比推广空间向量运算的坐标表示：【新知探究】平面向量运算的坐标表示：类比推广空间向量运算的坐标表示：两个向量夹角公式注意：（1）当　　　　　　时，　　　同向；（2）当　　　　　　时，　　　反向；（3）当　　　　　　时，　　　。思考：当　　　　　　及时，夹角在什么范围内？在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、，则空间两点间的距离公式【新知探究】【应用举例】∥∥【应用举例】且3、已知，求实数k的值例1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求：BE1与DF1所

14、成角的余弦值.【应用举例】(1)建立直角坐标系，(2)把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。例1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，【应用举例】变式1:E是A1B1的一个四等分点，求证：AE∥DF1.E所以AE∥DF1.变式2:F是AA1的一个四等分点，求证：BF⊥DF1.F即BF⊥DF1.例1.正方体ABCD—A1