第六章 逐次逼近法lz.pptx

《第六章 逐次逼近法lz.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第六章逐次逼近法6.1解线性方程组的迭代法6.2矩阵和向量的范数6.3非线性方程的迭代法6.4多根区间上的逼近求根6.1解线性方程组的迭代法一、迭代法的思想二、Jacobi迭代法三、Guass-Seidel迭代法第一节解线性方程组的迭代法一、迭代法的思想1.问题2.思想直接法求解线性方程组Ax=b的过程中，系数矩阵A在不断变动，A的阶数较大时，占用内存很大，程序复杂，对编程技巧要求高。按照某种规则，通过已知元素或已经求得的元素求出后继元素，从而形成一个序列，由该序列的极限过程去逐步逼近数值问题的

2、精确解。解决方法：求解过程中系数矩阵不变程序设计较简单的迭代法。第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法例1用简单迭代法解下列方程组解：我们分别从方程组的三个方程中分离出x1，x2，x3，得：据此可以建立迭代公式如下：当k－>∞时，X1（k）->1.1，X2（k）->1.2，X3（k）->1.3第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法1.解线性方程组的迭代法：将联立方程组的求解归结为重复计算一组彼此独立的线性表达式，从而简化问题。(i=1~n)考察一般形式的线性方程组：第一节解线

3、性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法(i=1~n)(k=0~+∞)写成迭代格式：含义：第k＋1次迭代出来的是由第k次迭代出来的加上一个修正项△xi得到的。随着△xi第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法2.矩阵表达原来方程：Ax＝b00LUD第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法2.矩阵表达:A=D-L-U0000A=-L-UDBJfJ(k=0~+∞)Jacobi迭代矩阵公式第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法Jacobi迭代矩阵公式(k=0~+∞)第一节解线性

4、方程组的迭代法二、Jacobi迭代法例1用Jacobi迭代法解下列方程组据此可以建立迭代公式如下：D-1L+U第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法例2(P214例1)用简单迭代法解下列方程组其矩阵形式如下：2.矩阵表达若取初值则迭代10次后可得BJfJ第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法3.算法设计(1)由于Xi(k+1)=Xi(k)+△Xi,△Xi代表了误差，故可以用Xi(k+1)-Xi(k)控制精度，用Y[i]存储迭代结果Xi(k+1)，用X[i]存储迭代初值Xi(k

5、)，用刻画精度。(2)控制运算量：为了防止收敛速度过慢或迭代不收敛（发散），设置最大迭代次数N以控制计算量。若迭代N次尚不能达到精度要求，则宣告迭代失败。第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法3.算法设计第一节解线性方程组的迭代法作业题P260习题14(1)（用G－S迭代法解方程组）P260习题14(2)（用Jacobi迭代法解方程组）第一节解线性方程组的迭代法三、Guass－Seidel迭代法例1用G-S迭代法解下列方程组解：我们分别从方程组的三个方程中分离出x1，x2，x3，得：据

6、此可以建立迭代公式如下：当k－>∞时，X1（k）->1.1，X2（k）->1.2，X3（k）->1.3(k+1)(k+1)(k+1)第一节解线性方程组的迭代法三、Guass－Seidel迭代法1.解线性方程组的迭代法注：（1）Jacobi迭代中没有充分利用已经计算出来的信息，例如在计算xi时，x1～xi-1都已经计算出来了，一般而言，xi(k+1)要比xi(k)更准确些。（2）在本题中G-S的迭代效果比Jacobi好，一般而言G-S的收敛效果比Jacobi好，收敛更快，但也不一定。有时可能G-S

7、比Jacobi收敛更慢，甚至G-S发散，Jacobi反而收敛。第一节解线性方程组的迭代法三、Guass－Seidel迭代法(i=1~n)(k=0~+∞)写成迭代格式：△xi1.迭代公式第一节解线性方程组的迭代法三、Guass－Seidel迭代法2.矩阵表达原来方程：Ax＝b00第一节解线性方程组的迭代法三、Guass－Seidel迭代法2.矩阵表达:A=D-L-U0000A=-L-UDBGfG(k=0~+∞)G-S迭代矩阵公式第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法例1用G-S迭代法解下

8、列方程组解第一节解线性方程组的迭代法二、Jacobi迭代法例1用G-S迭代法解下列方程组据此可以建立迭代公式如下：(D-L)-1U(D-L)-1b第一节解线性方程组的迭代法三、Guass－Seidel迭代法3.Jacobi迭代与G-S迭代比较Jacobi迭代矩阵公式G-S迭代矩阵公式Jacobi迭代公式G-S迭代公式SOR迭代称为SOR迭代矩阵为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个参数w，于是就得到所谓的逐次超松弛迭代法，简称SOR迭代，其中w称为松弛因子。此时在GS迭代中解得Jacobi