球函数的方法介绍及其应用.docx

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1、球函数的方法介绍及其应用摘要：本文对球函数的方程解法进行了介绍，并用球函数理论求解拉普拉斯方程的轴对称定界问题。关键字：球函数勒让德轴对称在实际问题中，研究的系统所处的边界是多种多样的。在讨论这些问题的时候，坐标系的选择必须按照系统所处的边界形状，所以出现了对球坐标、柱坐标等方程求解的讨论。本文就在球坐标系下，分解拉普拉斯方程，得出球函数方程，并用级数解放求解方程，得到了球函数的解，并介绍了简单情况下方程得而解的应用。1球函数方程拉普拉斯方程在球坐标中的表示式为：（1）利用分离变数法，设（2）将上次带入（1）式整理化简并移项，得上次

2、左边为r的函数，右边为和的函数，两边相等除非等于同一个常数，设该常数为，则上式可写为以下两个方程：（3）（4）方程（4）称为球函数。对方程（4）进一步分离变数，设，带入（4）并整理得（5）由于（5）式左边是的函数，右边是对的函数，两边相等说明两边都等于同一个常数，记为k，这样，就称为两个方程（6）(7)令，方程（6）的通解为：但对于（6）而言，还有一个“自然的周期条件”，即（8）对于方程（7），用代换，则可以变换为（9）上式称为阶缔合勒让德方程。如果所研究的问题具有轴对称性，即球坐标的极轴是对称轴，即。上次成为（10）1勒让德方程的

3、解对方程（10）而言，用常点领域的级数解法求解，方程（10）可写为并设求得该方程的通解为（11）其中且以上两个无穷级数称为勒让德级数，两个级数收敛于。讨论很多物理问题要求在时（即的一切方向），勒让德方程的解有限，这个限制叫做自然周期条件，因此，勒让德方程和自然边界条件构成本征值问题，它决定了在分离变数的过程中引入的常数必须取，为整数，此时，上面两个级数之一退化为次多项式，称为勒让德多项式，用表示。若约定使最高幂次项的系数为，则可求得勒让德多项式为：它具有以下的性质：（1）正交性：（2）模与归一化：称为归一化因子，称为归一化的勒让德多

4、项式。（3）完备性：勒让德多项式的完备性是指在区间中任一有连续一阶导数和分段连续的二阶导数的函数可以用勒让德多项式平均逼近，即：3缔结勒让德方程的解以上仅讨论了的情形，当所研究的问题没有对称轴时，对于方程（9），（12）也用级数解法，并做变换，则上次可以变为（13）上式恰好是勒让德方程逐项求导m次的结果。故方程（13）的解应当是勒让德方程的解的m阶导数，即：既然勒让德方程的本征函数为勒让德多项式，可以证明，方程（13）的满足自然边界条件的解为故，称为勒让德函数，记为。这样，缔合勒让德方程的本征值为：本征值函数为缔合勒让德函数：（14

5、）缔合勒让德函数的微分表达式为：4用球函数理论求解拉普拉斯方程的轴对称定界问题拉普拉斯方程的定界问题，如果具有对称轴，自然就取这对称轴为球函数的极轴，因为这样一来，问题与无关，只需的轴对称球函数。下面我们利用球函数理论求解拉普拉斯的轴对称定界问题：利用Maple软件进行编程计算：>restart;with(LinearAlgebra):with(PDEtools):>l:='l';assume(l,integer):对于勒让德方程，需限制解在区间[-1,1]的两端保持有限，在分离变数的过程中所引入的常数中的被限制于零和正整数。>f:

6、=l->iftype(l,even)thenlelsel-1fi;>f(5);在勒让德多项式中，需要判断的奇偶性，这里用了if语句判断。>forlfrom0to10do>P[l]:=sum((-1)^(k)*(2*l-2*k)!*cos(theta)^(l-2*k)/(2^l*(k)!*(l-k)!*(l-2*k)!),k=0..f(l)/2);>od;用for语句，表示出勒让德多项式前10项表达式。>eqn:=cos(theta)^2-a*P[0]+b*P[1]+c*P[2]=0;>sols:=solve(identity(eqn

7、,theta));>根据表达式，考虑到u在球心处应有自然边界条件：，所有，由于，根据边界条件利用待定系数法求出参数。>u:=1/3*P[0]+0*P[1]*r-2/3*P[2]*r^2;这样，得出了次方程的解。参考文献1.梁昆淼，数学物理方法（第四版）；2.冯建春，球函数方程的解及其在角动量平方算符L2本征值问题中的应用，中国分类号:0411.1，文献标识码:A　　　　文章编号:1007-0834(2006)04-0003-03。