石头-沙子和水的故事(数学版).doc

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1、[转载]石头，沙子和水的故事（数学版）一天，数学课上。数学老师望着大家说：“今天我们不讲艰深的定理，也不做复杂的计算。你们马上就要毕业了，这次我想和大家分享一点自己的感悟。”说罢，老师转身在黑板上画了一个数轴，标上数字0，1，2，3……，问：“数轴上的数都写完了吗？”“没有！”学生答道。“还有哪些？”老师问。“还有负数！”“是的。”说着，老师又在数轴左侧依次标上-1，-2，-3，……，接着问：“数轴上的数写完了吗？”“写完了！”学生答。“真的吗？”老师反问。接着，老师又在0和1之间写上1/3，1/2，2/3，4/5，……学生们这才恍然大悟，抢着说：“没写完！还有分数！”“还有3/2，4

2、/3，5/4，7/4，……”“还有负分数！”老师都一一标上，表示肯定。“我们把能写成分数形式的数叫做有理数。如果把所有的有理数也写上，这次写完了吗？”老师又问。“应该写完了吧。”学生们小声回答。老师似乎有不同意见，又在4/3与3/2之间写上根号2，在3/2与7/4之间写上根号3，在2/3与4/5之间写上（根号2）/2。学生们又上当了！还有无理数！“那如果把无理数再填上呢？”老师仿佛要问个没完。学生们一个个盯着数轴，心想：有理数与无理数合起来就是实数了，老师说过，数轴上的点与实数之间一一对应，除了实数还有什么呢？学生们一筹莫展。老师随手又画了一条与已知数轴垂直的数轴，说：“加上一条数轴，

3、我们就进入了二维世界，数的家族里也添了一位新的成员——复数。”“太神奇了！”有学生惊讶不已。“还能这样？”有学生愤愤不平。“如果再加上一条数轴，我们就进入了三维世界，是不是又有新的数了？”有学生大胆猜想。“想得不错！那样的数叫做三元数。正可谓：一个数轴定方向，两个数轴量天下，三个数轴度乾坤呐！”“那是不是还有四元数、五元数、六元数？”学生追问道。“当然！”老师自信地说道，“留待以后你们去探究了。”最后，老师问：“通过刚才这个事情，你们学到了什么？”一个学生马上站起来回答：“数的家族是在不断扩大的。”“对，数系在不断地扩充，但这仅仅是表面现象。”老师点评道。“你永远不知道生活的下一刻是什

4、么，可能会有意想不到的精彩。”另一位同学补充道。“由数系的扩充联想到了人生的变化以及不可预知，有一定深刻性！”老师表示赞许，“还有没有同学补充？”台下一片沉寂，同学们都望着老师，期待老师有一个非同寻常的答案。老师会说些什么呢？留给读者想象和补充吧！或许你已发觉这个故事似曾相识，没错，它改编自大家所熟知的“装石头，沙子和水的故事”，该故事也有各种不同的版本，其寓意也有各种不同的言说，以上算是其数学版本吧！可作为教师讲授数系知识的参考资料。中国科技大学的王树和教授曾有精辟论述：有理数是米，无理数是汤。有理数是米，无理数是汤，一会儿不想饿得慌。“装石头，沙子和水故事”的第一个版本：一天，一位

5、大学教授在给即将毕业的学生上最后一堂课。教授站在讲台上，指着讲桌上的铁桶和石块说：“我能够传授给你们的知识都讲完了，今天我们来做个实验。”于是，教授把石块一一放进铁桶里。当铁桶里再也装不下一块石头时，教授停了下来，问：“铁桶里现在是不是再也装不下东西了？”“是！”学生答道。“真的吗？”教授问。随后，他从桌子底下拿出了一小桶碎石，随手抓起一把，放在已装满石块的铁桶上面，开始慢慢摇晃，然后又抓起一把，继续摇晃……过了一会儿，学生们看见一小桶碎石全装进了铁桶里。“铁桶里还可以装东西吗？”教授又问。“可以吧”，根据上次经验，学生们小声回答。“没错”，教授边说，边又从桌子底下拿出一小桶细沙，倒在

6、铁桶的上面。教授慢慢地摇晃铁桶。约半分钟后，铁桶上面的细沙就滑下去了。“现在铁桶装满了吗？”“装满了。”学生们齐声回答。这一次，教授再从桌子底下拿出一罐水，将水慢慢地倒到铁桶里……最后，教授抬起头来，微笑着问大家：“这个实验告诉我们什么？”一个学生马上站起来回答：“即使你的日程表排得再满，你都能挤出时间做更多的事情。”“有一定道理。”同学们都望着教授。教授停了停，说：“它告诉我们，如果不先装石块，等装满了碎石、沙子和水，再装石块几乎就不可能了；如果先装石块，铁桶会留下意想不到的空间装碎石、沙子和水。因此，你们在以后的生活中，必须分清楚什么是石块、碎石、沙子和水，并且总是先装石块。”“装

7、石头，沙子和水故事”的第二个版本：在一次上时间管理的课上，教授在桌子上放了一个装水的罐子。然后又从桌子下面拿出一些正好可以从罐口放进罐子里的“鹅卵石”。当教授把石块放完后问他的学生：“你们说这罐子是不是满的？”“是。”所有的学生异口同声地回答说。“真的吗？”教授笑着问。然后再从桌底下拿出一袋碎石子，把碎石子从罐口倒下去，摇一摇，再加一些，再问学生：“你们说，这罐子现在是不是满的？”这回他的学生不敢回答得太快。最后班上有位学生怯生生地细声回答道：