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《同济高数总复习(下).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、总复习1.多元函数的导数设二元函数则因变量对某一个变量的偏例1设求解由定义得一、多元微分导是将其余变量视为常量的导数.例2设解由复合函数的导数公式,得求在偏导计算过程中,要注意的是如何按定义计算函数例3求函数的偏导.解当时,在一点的导数.当时,同理:2.高阶偏导由于偏导本质上是一元函数的导数,故偏导函数仍然是多元函数,由此可以定义高阶导数.对二元函数高阶导数为例4设解由例2,知所以,求二阶偏导.在上例中看到,在二阶偏导连续的条件下,有3.全微分⑴定义对函数对自变量的增量若全增量具有表达式其中则称函数为可微的,相应的微相应的因变量的全增量为分记为⑵可微的条件偏
2、导连续可微函数连续偏导存在.⑶微分计算公式若函数有连续偏导,则例5设解由例2知故求例6讨论例3中的函数在原点的可微性.解由例3知,从而有由此得即有函数在原点可微分,且有4.复合函数的导数设二元复合函数其中函数均有所需要的各阶偏导数,则例7设解令则由导数公式求例8设解令则所以其中为类函数,求二阶偏导.5.隐函数的导数⑴一个方程确定的隐函数隐函数存在定理若函数满足则在点的某一邻域,由方程可确定一个类函数且有⒈函数有对各个变量的连续偏导数;⒉例9设二元函数由方程确解令则故由公式得定,求例10设函数是由方程确定,求解令则:所以:例11设方程确定是的函数,证明证令则:
3、所以:因而⑵方程组确定的隐函数隐函数存在定理设四元函数⒈函数对各个变量具有连续的偏导,⒊则方程组在点的某个邻满足⒉域内能唯一地确定一组函数组满足条件并有相应的导数公式.例12设方程求解方程两边对求导,则有上式的第二式乘再两式相减得确定隐函数从而有同理有由对称性得6.方向导数与梯度设二元函数为可微函数,是与同向的单位向量,则函数在点处沿方向的方向导数为:梯度为由此得:处的外法向量,求例13设是曲面解令因取外法线方向,故导数.则:在点在点处沿的方向所以:又:从而:处沿哪个方向的方向导数最大？并求此最大值.例14函数解因为梯度方向即为最大方向导数方向.在点为最大方
4、向导数方向.最大方向导数为二、多元微分的应用1.几何应用⑴曲线的切线与法平面方程设曲线由参数方程给出:点则曲线在该点处的切线和法平切线法平面面方程为若曲线有一般方程给出,则切线可视为两切平面的交线.⑵曲面的切平面与法线设曲面方程为点切平面则切平面方程与法线方程为法线例15在曲线上,求与平面解设切点所对应的参数值为故相应的切向量为即平行的切线.由已知条件得切向量与平面的法向垂直,即有故切点为和切向量为和相应的切线方程为和例16求曲面的切平面方程.解设切点为上平行于平面则该点的法向量为:由条件两平面平行,即有:有:代入曲面方程有:因而切点为:故所求切平面为例17
5、求曲面解设切点为的切平面,使之过且与直线平行.则该点的法向量为因平面与直线平行,故平面的方向与直线的方向垂直,即设切平面方程为即又点在平面上,即有联立方程:解之得相应的切平面方程为⑵二元函数的极值设二元函数为类函数,求极值.1.求函数的一阶和二阶偏导;2.令求函数的所有驻点;3.对函数的所有驻点,计算的符号,若极小值极大值非极值例18设由解方程两边求导,得令则有方程组确定,求函数的极值.解此方程组,得再代入原方程,有驻点对上述驻点,解此方程组,并注意到一阶偏导为零,有在上面两个方程中,继续求导,得此时的极小值点,极小值为此时所以是的极大值点,极大值为所以是⑶
6、条件极值问题求函数在条件下的极值.方法1.构造函数2.解方程组3.对方程的解进行讨论.例19求椭圆的长半轴和短半轴之解椭圆的半轴长分别为原点到曲线的最长距离和最短相应的方程组为长.距离.故作函数由条件容易知道:于是有令即有解之得再代入曲线方程,得故两半轴之长分别为二、重积分1.二重积分的计算先后先后⑴在直角坐标下的计算⑵在极坐标下的计算⑶一般坐标变换例20计算积分解积分区域如图.因被积函数的原函数不是初等函数,故不能直接积分.首先交换积分次序:例21计算积分及直线围成的平面区域.解其中由双曲线例22计算积分解其中2.三重积分的计算⑴在直角坐标下三重积分的计算
7、①先1后2的积分:②先2后1的积分⑵利用柱面坐标计算三重积分⑶利用球面坐标计算三重积分例23计算积分绕轴旋转一周所成的曲面再与所围成的立体.解1其中由所以,积分解2利用柱面坐标例24计算积分及所围成的区域.解利用球面坐标其中是由曲面3.重积分的应用⑴曲面面积设空间曲面⑵空间立体的质量与重心坐标的计算:设空间几何形体密度函数为则质量和重心坐标则曲面的面积为分别为三、曲线积分与曲面积分1.曲线积分⑴第一类曲线积分计算方法:若则有⑵第二类曲线积分计算方法若则有例25求积分解其中例26求八分之一的球面解曲线弧的质量为设中心坐标为则的边界曲线的重心（）.由对称性知即重
8、心坐标为例27求其中取逆时针方向.解由积分公式得所以
