第十二讲函数列与函数项级数.doc

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1、第十二讲函数列与函数项级数12.1函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列（一）函数列的收敛与一致收敛1．逐点收敛函数列，若对，数列都收敛，则称函数列在区间I上逐点收敛，记，称为的极限函数．简记为2．逐点收敛的定义对，及，，当时，恒有3．一致收敛若函数列与函数都定义在区间I上，对，当时，对一切恒有，则称函数列在区间I上一致收敛于．记为.4．非一致收敛，对，及，使得例12.1证明在逐点收敛，但不一致收敛．证明：当时，，当时，，即极限函数为．但非一致收敛，事实上，取。对，取，取·此时，即5．一致收敛的柯西准则函数列在I上一致收敛对，当n,m>N时，对一切，恒有6．非一致收敛的柯西准则函

2、数列在I上非一致收敛，对，及，使得例12.2用柯西准则证明：在上一致收敛；(2)在上非一致收敛．证明：(1）对，取，当时·对一切有即在上一致收敛·(2）取，对，取，取，则有即在上非一致收敛·7．充要条件函数列在I上一致收敛于·注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷．例12.3讨论函数列的一致收敛性’解：①求极限函数．当时，，当时．，即极限函数为②即（二）极限函数的性质1．连续性若满足：(1）对每一个n，在区间I上都连续；(2);则在I上连续，即注：其逆否命题：若都连续，但极限函数f不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例12.3进行判断．2．可积性

3、若满足：（1）对每一个n,在区间上都连续；(2）；则在上可积，且3．可微性若满足：(1）对每一个n，在区间上都连续；(2）使;(3）.则在上可导，且，即注：以上三个定理的条件仅为充分条件．4．狄尼定理若函数列对每一个n,都在上连续，对每一点，为单调的，且，则在连续的充要条件是．证明：充分性显然，下证必要性．（反证法）假设．由定义，，对，及，使得．特别地，当取k时，分别存在，及使得（*)并且不妨设由已知，对固定的x是单调的，不妨设为单调递增．且，即．于是式（*)可写为（**)由于为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为，即.因，对上述的，当时．恒有.特别地，有（***)当时，由单调性及式（*

4、*)有注意到及的连续性，令取极限得．此与（***)式矛盾，即必一致收敛于f.二、函数项级数（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛1．逐点收敛为定义在区间I上的函数列，称为函数项级数．若对，级数都收敛．则称函数项级数在区间I上逐点收敛，称为和函数．称为部分和函数，为第n项余项函数·逐点收敛于2．一致收敛若，则称函数项级数在区间I上一致收敛于和函数．一致收敛于3．一致收敛柯西准则函数项级数在区间I上一致收敛对，当时，对任意的自然数p，及对一切，恒有注：由此可得到函数项级数在区间I上一致收敛的必要条件：一般项一致收敛于零．逆否命题：若一般项不致收敛于零．则函数项级数在区间I上必不一函数项级数收

5、敛。4．非一致收敛柯西准则函数项级数在区间I上非一致收敛对及和，使得例12.4讨论函数项级数在下列区间上的一致收敛性：①;②.解法l（用定义）：显然当时，则①②.所以，函数项级数在①一致收敛；在②上非一致收敛．解法2（用柯西准则）：①因为，对，当时，于是对任意的自然数p，有由柯西准则，在①上一致收敛．②因，所以，当时，．取对，取，取，则由柯西准则知，在上非一致收敛．（二）函数项级数一致收敛判别法1.M判别法若，而收敛，则在区间I上一致收敛，且绝对收敛．2．阿贝尔判别法若满足：(l）在区间I上一致收敛；(2）对固定的单调，且一致有界：即存在常数M，使，则在I一上一致收敛．3．狄利克雷判别

6、法若满足：(1);(2)单调且在I上一致收敛于零，则在I上一致收敛例12.5讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性：(1）;(2）解：(1）因，而收敛，由M判别法，一致收敛(2）记，则收敛．，从而关于一致收敛，对固定单调递增且有界：，对．由阿贝尔判别法知，一致收敛．（三）和函数的性质1．连续性．若满足：(1）对每一个在区间I上连续；(2）函数项级数卜致收敛的，则和函数在I上连续，即.注：逆否命题：若都连续，而和函数f不连续，则必不一致收敛．2．可积性条件同上，则在上可积，且3．可微性．满足：(l）对每一个在区间I上连续；(2）存在，使收敛；(3）在I上一致收敛．则可导，且注：以上条

7、件仅为充分条件．4．狄尼定理若对每一个在区间I上连续且非负，，则连续在I上一致收敛．证明：充分性显然，下面证明必要性．由于对每一个在区间I上连续且非负，所以在I上连续，且关于n是单调递增．则由前面证明的函数列的狄尼定理立即可得