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1、线性代数中注意的问题及重要的结论（原创By华仔）第一章线性方程组一、需要注意的问题概述：本章主要围绕如何解方程组而展开的。其实如果细心学习过后面章节的内容你会发现，线性代数整个这一本书就是在研究如何解方程组的问题。起先是通过高斯变换将待解方程组化为“阶梯型”方程组来解答；而后又提出了矩阵通过类似于它的初等变换来解方程组（矩阵的初等变换总共有六种类型：行变换三种；列变换三种。）初等变换的手段也是将其化为阶梯型or最简型矩阵。1、一些特殊的矩阵：①对角阵：所有非主对角线元素等于零的n阶矩阵，称为对角阵。表示Diag(a1
2、,a2,…,an);单位阵是特殊的对角阵，主对角线的元素都为一。②上三角阵：主对角线左下方的元素全部为零。下三角阵：主对角线右上方的所有元素都为零。③对称矩阵：元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。（）反对称矩阵：.④等价标准型：F=（）（r:为非零行的行数）⑤奇异矩阵：行列式的值为零的矩阵；非奇异矩阵：行列式的值不为零的矩阵。1、需注意的问题：第一章的作用是引入矩阵的概念。在解题过程中用到的不多。一点需要在意的是：（1）、非齐次方程组解的存在性定理：(充要条件)方程组对应增广阵的阶梯形矩阵中没有形如(0，0，0，··
3、·，b)（b≠0）的行。（2）、如果齐次线性方程组未知量个数(系数阵A的列数)大于大于方程个数（系数阵A的行数），则该方程组必有非零解。（3）、对于未知量的个数大于方程个数的方程在求解时要介入自由变量。第二章矩阵概述：本章着重研究矩阵，从概念到性质再到其应用。第一章和第二章的过渡很自然。（第一章提出矩阵的概念及其求解方程组的作用，第二章就开始深入研究它）。一、需注意的问题1：矩阵运算注意的问题。①数乘：矩阵和数只可以做数乘，加法是绝对不允许的。例：A+2(X)应该为A+2E(√).②乘法：要学会通过乘法将方程组表示成
4、矩阵方程或向量方程的形式；还有第六章的二次多项式就是用乘法转换为矩阵方程的形式的（F(x)=）；矩阵的乘法是不满足交换律的，即AB≠BA，所以在解矩阵方程时要分清左乘还是右乘矩阵，提公因式时也要分清左右；矩阵的乘法一般不满足消去率，即AB=ACB=C.但有一种情况矩阵是可以互相消去的，就是矩阵中有一个元素，即可看成是一个数；AB=0A=0orB=0。①幂：首先必须明白一点矩阵是没有除法的。运算法则：；。一般来说，（上述指数全部为正整数。）绝对不存在负指数的矩阵运算，还有,它只为,运算时一定要与实数的运算区分。②转置与
5、可逆运算：相似处：;不同处：;可逆无。2：可逆矩阵、对称矩阵及分块矩阵：仅从前几章来看似乎可逆矩阵的作用范围非常窄，可是学完整本书之后你会发现可逆矩阵的作用非常大。可逆矩阵:①可逆矩阵的求解总共有两个大方法和两个小方法。大（1、初等变换法2、(
6、A
7、≠0）)；（小1.2.）①可逆矩阵的证明前后总共有七条定理或推论。（此处不再详述）。对称矩阵：①设A、B是同阶对称矩阵，k是一个实数，则A+B,A-B,kA仍是对称矩阵。分块矩阵：①转置：总共分为两步。一是先将整个矩阵转置，然后对每个子块内部进行转置。②乘法:必须保证A,
8、B两分块矩阵的分块方法完全相同。③可逆矩阵的求解：A,B都是n阶可逆矩阵，2n阶矩阵D=一、相关结论1、已知A，B均是n阶对称矩阵，AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA.1、如果对称矩阵A可逆，则也是对称矩阵。2、A为n阶实矩阵，且满足,则A=0第三章行列式概述：行列式是解线性方程组的另一种方法。行列式与矩阵之间有本质的区别(矩阵只是个数表而行列式是一种运算)，同时两者又有着很多相似的性质。一、需要注意的问题1.每个矩阵都对应着一个行列式，但是行列式在计算时要和矩阵区分开，相似的性质中还有一些区别。比如用初等变换解行
9、列式。2.上（下）三角矩阵行列式的值等于其对角线上元素之乘积，此处的对角线指的是主对角线，另一条对角线上的元素要考虑符号，所以不满足。3.行列式的初等变换：,此处一定要注意行列式与矩阵初等变换的不同。4.对于n阶方阵A，则
10、A
11、=,其中是个数。5.行列式的求解技巧很多，需要我们掌握的就是化三角法和降阶法。6.行列式的初等变换是等值的变换，之间用等号连接而矩阵的初等变换是等价的变换，是不相等的，之间是用箭头连接的。1.范德蒙行列式的求解公式：2.分块矩阵行列式的求解：①。式中C可以为零，结果不影响。②其中A,B分别为m
12、,n阶方阵③其中A,B是同阶方阵。3.行列式的乘积定理：设A,B是n阶方阵，则
13、AB
14、=
15、A
16、
17、B
18、;
19、AB
20、=
21、BA
22、.4.行列式应用处的重要结论：5.克拉默法则：设含n个未知量、n个方程的非齐次线性方程组，其系数阵的行列式≠0，则该方程组有唯一解；设含有n个未知量、n个方程的齐次线性方程组，其系数阵的行列式≠0，方程组只有零解。（克拉默法则
