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1、二次型的问题其中八的对角缰几心，4対4的特征值."而经一股的可逆线性变所以只有用正交变换化二次型为标准形8%标准形平方项的系数才是川的特征值.换（如配方法）化二次型为标准形，标准形平方项的系数未必为4的特征值.亠_2、05>-1丸-52(2-5)20A-5下而来看一具体的例子：31-1a_50二袂型/（XpX3,x3）=xf+5君+5彳+2可乃-4勿勺,a-i
2、4F-^
3、=-12=(^-5)^-5）（^-6）,夹的特征值为5,6,0,求出卫的特征向量再单位化可以组成正交矩阵0,/(xpx2,x5)=昭+5球+5心2+2椚2-4习勺经
4、正交变换x=gyft为»f+6拆+0送，心下面再看配方法」yT/(zpXj^j)=xj+5xJ+5xJ+2xe_4xjZ3=xf+2xx(x2-级)+显-2x3)3-(x2-2x3)2+5xf+5才，夕J［必=兀+勺-2勺=（兀+乃_2也）2+4x32+4兀2冷+才=（西+兀2-2x$+（2兀2+也）2,经可逆线性变换＜尹2=2乃+冷化JI乃二心二次型帧准形处+以可见讥。并不是二次艇毗的费関劝MS"”」⑵仙4归7J如何判断矩阵的等价、相似、合同?如何判断矩阵的等价，相似，合同？“(1)J与B等价:M可以经一系列初等变换得BoPAQ
5、二Bo厂⑷=O“(儿〃同型，几0可逆•)判断等价只需同型且秩相等.•(2)月与〃相似：P~'AP二B,P可逆.“相似有四个必要条件:秩相同，特征值相同，特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似,考研大纲并不要求，但是如果儿P相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知儿P相似•:了⑶月与B合同(仅限于对称矩阵):CtAC=B(C可逆)o/与〃的正负惯性指数相同.等价等价但不忸似0、,B=01.10―相似匕等价,例A二判断合同前提都是实对称矩阵*然后判断正负特征值的个数蜀薯卑钢翹馮条駢唯曙降197‘1在月』实时称的前提
6、下，相似t/丄合同-4、11111O'lF‘100、z00o'A=000.B=001、。二000,D=ojf1•、0o0,0勺、000,』1b判定下列矩阵哪些等价，哪些相似,哪些合同？.【例1】【解】先看等价］r(A)=lsr(B')=2Sr(C)=1,r(Z>)=1.故雄CQ等价，再看相似：/•(/!)=ztC)=r(Z；)=l,r(S)=2,排除B,考虑A9C9D,儿C的特征值为1,0,0,Q的特征值为2,0,0,从而排除刀仅仅A的特征值为1,0,0,且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量,/〔V00厂貝相似于对角阵C二000
7、,从而儿C相似.、000,最旨看合同：合同仅限对称阵•仅仅考虑C,D・C的特征值为1,0,0,D的特征值为2,0,0・C的正惯性指数为1,负•惯性指数为o.d的正惯性指数也为1,负惯性扌00g占冷卸翻rmcf1山/2144141971vw.evkv.netO551-2905788:2905789“0(P00是否等价,00;‘11【例2】判断/!=1IJ1【解】厂（£）二厂3）二1・二者等价；"‘3上为对称阵二定相似于对角阵B二0卫0（P00；从而/一定合同于对角阵J00Jblog◎门乩coma個酋毎Jdz口971矩阵等价能否推出他们
8、的行或者列向量组等价?两矩阵&B等价，能推出他们的行向重组一定等价或者列向量组一定等价么？a【解答】不可以！卩首先矩阵卫经初等行变换化为矩阵则称行等价；Q矩阵4经初等列变换化为矩阵则称4,2列等价丿袒阵川经初等变换（包含行变换和列变换）化为矩阵B，则称40等价；显然行等价则有等价，反之不然一我们再来看看什么是向重组的等价？“.两向量组等价是指两向量组可以互相线性表示，应注意两向量组等价他门所含向重个数可以不一样的！！！•例如向壘组I：0与向重组II：©0等价。blDy^irieLC；9rfLC；fi/u/2144141971显然矩阵
9、4B行等价，可以推出他们的行向壘组等价！4$列等价可以推出他们的列向壘组等价！*从而4,B等价未必有4,B行等价，从而也未必有他们的行向量组等价！看一个具体的例子：“<100100、0c34-c^C=00.010( 1<10f-0b显然矩阵4E行等价，月,鸟的行向量组等价，但列向量组不等价！“矩阵E,c列等价，5C的列向壘组等价，但行向量组不等价！"矩阵等价（既做了行变换，也做了列变换），但他们的行、列向壘组均不等价！心blog,sina^corrtcd/li/2144141971在考研数学考试中，线性代数占总分值的22%,约34
10、分，以2个选择题、1个填空题、2个解答题的形式出现。虽然线性代数的考点众多，但要把这5个题目的分值完全收入囊中，需要进行重点题型重点突破。专家们深入研究了硕士教育对于考生数学素养的要求，总结出考研数学线性代数考试考查概率极高的四个核心
