曲线积分与曲面积分习题ppt课件.ppt

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1、微积分习题课电子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences哈尔滨工程大学理学院工科数学教学中心微积分习题课电子教程主要内容介绍典型例题选讲课堂自主练习1第一型曲线积分的练习2第一型曲面积分的练习3第二型曲线积分的练习第十章曲线积分与曲面积分(第一次习题课)基本概念理解的概念第一型曲线(对弧长的)积分、第一型曲面(对面积的)积分、第二型曲线(对坐标的)积分的定义、性质、几何或物理意义以及两型线积分的联系.熟练掌握的内容上述积分的计算(在各个坐标系下)基本计算能力直角坐标系下的计算参数方程下的计算能用线、面积分表达一些几何量

2、和物理量(空间曲线、曲面的质量、重心、转动惯量、变力沿有向曲线作功等)极坐标系下的计算第一型曲线积分第一型曲线积分的计算公式主要内容介绍其重要性质是此类积分与起、终点无关.或者说下限应小于上限.第一型曲面积分第一型曲面积分的计算公式同理,有其它两个公式此类积分与曲面的方向无关.第二型曲线积分第二型曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系曲线的质量曲面的质量平面曲线绕已知轴旋转的转动惯量平面曲线的重心第二型曲线积分的物理意义例题选讲练一练设两段线状物体的线密度为该点的纵坐标的值，求这两线状物体的质量。yxoBA解例11.第一型曲线积分的计算(2).=2yxoBA例4解例

3、2于是，说明：1.计算第一型曲线积分时，可以用积分曲线L的方程化简被积函数。2.设L关于x轴对称,若f(x,-y)=-f(x,y),则若f(x,-y)=f(x,y),则计算xyao(2)把弧微分ds变成参变量的微分式分析:(1)画出积分路径的图形,练习1解:计算(2)再把它代入上半球面的方程x2+y2+z2=4a2,得z=2asint/2.其中L是上半球面z≥0与柱面x2+y2=2ax的交线.分析:曲线是两个曲面的交线,它的投影曲线为x2+y2=2ax.现在我们把曲线L变成参数方程:(1)曲线变形为x2+y2=2ax→(x-a)2+y2=a2，参数方程为x=a(1

4、+cost)，y=asint练习2x2+y2+z2=4a2，(3)于是参数方程为解:练习3计算解:由于图形对称,我们只计算第一象限的在第一象限中,星形线的参数方程为aaxy-a-a其中L为星形线:练习4利用公式直接得到:计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得练习5计算其中为球面解:化为参数方程则练习6例3OAmn2.第二型曲线积分的计算解(1)zOB1xACy11解(2)其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程练习7练习8计算其中:L为柱面与平面的交线,从z轴正向看L为逆时针方向解:设L的参数方程为:练习9把对坐标的曲线积分:

5、化为对弧长的曲线积分,其中L为曲线解:由而:所以:思考从中能得到什么?一个公式曲线积分计算方法总结:ⅰ）利用计算公式:思想：化为定积分；方法：“参数法”及要点。*1选取合适的参数方程；*2第一类曲线积分：①定限②代换第一类曲线积分：①定向②定限③代换*1对称性轮换性的应用*2利用曲线方程简化被积函数*3两类曲线积分之间的联系ⅱ）特殊情形解3.第一型曲面积分的计算例5设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则例6思考:若上题中被积函数改为计算结果如何?计算:例7其中∑为闭曲面解:曲面为中心在坐标原点,且顶点都在坐标轴上,且顶

6、点到原点的距离都等于1的正八面体.设∑在第一卦限内的曲面为,由对称性可得练习10其中∑为闭曲面计算练习11曲面将球面分成三部分,求这三部分曲面面积之比值.空间立体V由和所围成,S为V的边界曲面,练习12试计算GoodBye感谢同学们！